Skor nilai tes bahasa Inggris sejumlah siswa ditunjukkan

Nilai x adalah 12.

Pembahasan

Untuk menentukan nilai x, kita perlu memahami konsep median dalam statistik. Median adalah nilai tengah dalam suatu kumpulan data yang telah diurutkan. Dalam kasus ini, data disajikan dalam bentuk tabel frekuensi.

Data:
Skor: 0, 1, 2, 3, 4
Frekuensi: 2, 4, 6, x, 1

Jumlah total data (N) = 2 + 4 + 6 + x + 1 = 13 + x

Median adalah nilai pada data ke-(N+1)/2 jika N ganjil, atau rata-rata dari data ke-N/2 dan (N/2)+1 jika N genap.

Diketahui median adalah 3. Mari kita analisis posisi median berdasarkan jumlah data:

- Jika median berada pada skor 3, maka data ke-(13+x+1)/2 atau data ke-(13+x)/2 jatuh pada kelompok skor 3.

Mari kita hitung frekuensi kumulatif:
Skor 0: Frekuensi Kumulatif = 2
Skor 1: Frekuensi Kumulatif = 2 + 4 = 6
Skor 2: Frekuensi Kumulatif = 6 + 6 = 12
Skor 3: Frekuensi Kumulatif = 12 + x
Skor 4: Frekuensi Kumulatif = 12 + x + 1 = 13 + x

Karena median adalah 3, ini berarti data ke-(13+x)/2 berada di dalam kelompok skor 3. Kelompok skor 3 dimulai setelah data ke-12 dan berakhir pada data ke-(12+x).

Ini mengimplikasikan bahwa (13+x)/2 harus lebih besar dari 12, dan data ke-(13+x)/2 haruslah 3.

Jadi, 13 + x harus berada di posisi yang membuat median adalah 3. Jika kita asumsikan jumlah total data genap atau ganjil, kita perlu mencari nilai x sehingga posisi median jatuh pada skor 3.

Jika N = 13 + x, dan median = 3, maka posisi median adalah pada data ke-((13+x)+1)/2 atau rata-rata dari data ke-(13+x)/2 dan (13+x)/2 + 1. 

Jika kita lihat frekuensi kumulatif, skor 2 memiliki frekuensi kumulatif 12. Agar median menjadi 3, maka data ke-13 dan seterusnya hingga data ke-(12+x) memiliki skor 3. Ini berarti posisi median harus jatuh pada skor 3.

Ini akan terjadi jika frekuensi kumulatif sebelum skor 3 (yaitu frekuensi kumulatif skor 2) adalah kurang dari setengah total data, dan frekuensi kumulatif hingga skor 3 adalah lebih dari atau sama dengan setengah total data.

Setengah total data = (13+x)/2

Kita tahu bahwa frekuensi kumulatif sebelum skor 3 adalah 12. Jadi, 12 < (13+x)/2.
24 < 13 + x
x > 11

Selanjutnya, frekuensi kumulatif hingga skor 3 adalah 12 + x. Jadi, 12 + x >= (13+x)/2.
24 + 2x >= 13 + x
x >= -11

Karena x adalah frekuensi, nilai x harus positif. Kombinasi dari x > 11 dan fakta bahwa median adalah 3, menunjukkan bahwa nilai x harus membuat data ke- (13+x)/2 berada di dalam rentang skor 3.

Jika x = 5, maka N = 13 + 5 = 18. Posisi median adalah data ke-(18+1)/2 = 9.5. Median adalah rata-rata data ke-9 dan ke-10. Data ke-1 sampai 2 adalah 0, data ke-3 sampai 6 adalah 1, data ke-7 sampai 12 adalah 2, data ke-13 sampai 17 adalah 3. Rata-rata data ke-9 (skor 2) dan ke-10 (skor 2) adalah 2, bukan 3.

Jika x = 7, maka N = 13 + 7 = 20. Posisi median adalah data ke-(20+1)/2 = 10.5. Median adalah rata-rata data ke-10 dan ke-11. Data ke-1 sampai 2 adalah 0, data ke-3 sampai 6 adalah 1, data ke-7 sampai 12 adalah 2. Rata-rata data ke-10 (skor 2) dan ke-11 (skor 2) adalah 2, bukan 3.

Agar median menjadi 3, maka frekuensi kumulatif dari skor 2 harus kurang dari setengah total data, dan frekuensi kumulatif dari skor 3 harus lebih dari atau sama dengan setengah total data.

Frekuensi kumulatif skor 2 = 12.
Frekuensi kumulatif skor 3 = 12 + x.
Total data = 13 + x.

Agar median = 3, maka:
1. Posisi median harus berada di dalam kelompok skor 3.
2. Frekuensi kumulatif sebelum skor 3 harus < N/2.
3. Frekuensi kumulatif hingga skor 3 harus >= N/2.

Kita tahu frekuensi kumulatif hingga skor 2 adalah 12. Jika median adalah 3, maka nilai tengah data harus berada pada skor 3. Ini berarti bahwa jumlah data sebelum skor 3 (yaitu, frekuensi kumulatif skor 2) harus kurang dari setengah dari total data, dan jumlah data hingga skor 3 (yaitu, frekuensi kumulatif skor 3) harus lebih besar dari atau sama dengan setengah dari total data.

Setengah total data = (13 + x) / 2.

Kondisi 1: Frekuensi kumulatif sebelum median < N/2.
12 < (13 + x) / 2
24 < 13 + x
x > 11

Kondisi 2: Frekuensi kumulatif hingga median >= N/2.
12 + x >= (13 + x) / 2
24 + 2x >= 13 + x
x >= -11

Karena frekuensi tidak bisa negatif, kita fokus pada x > 11. Nilai terkecil x yang mungkin adalah 12.

Jika x = 12, maka N = 13 + 12 = 25. Posisi median adalah data ke-(25+1)/2 = 13.
Frekuensi kumulatif:
Skor 0: 2
Skor 1: 6
Skor 2: 12
Skor 3: 12 + 12 = 24
Skor 4: 24 + 1 = 25

Data ke-13 jatuh pada kelompok skor 3. Jadi, jika x = 12, median adalah 3.

Mari kita cek apakah ada nilai x lain yang memungkinkan. Jika x adalah nilai lain yang lebih besar dari 11, misalnya x = 13, N = 26, posisi median 13.5. Data ke-13 dan 14. Data ke-13 ada di skor 3, data ke-14 ada di skor 3. Mediannya 3.

Namun, dalam konteks soal pilihan ganda atau soal yang mencari nilai spesifik, biasanya ada satu nilai x yang paling tepat atau yang membuat kondisi median terpenuhi dengan paling langsung. Jika median adalah 3, dan frekuensi kumulatif sebelum skor 3 adalah 12, maka data ke-13 haruslah skor 3. Ini terjadi jika x >= 1. 

Mari kita lihat lagi definisi median. Jika jumlah data ganjil (N=13+x), median adalah data ke-(N+1)/2. Jika jumlah data genap (N=13+x), median adalah rata-rata data ke-N/2 dan (N/2)+1.

Kita perlu mencari x sehingga median = 3.

Kasus 1: N ganjil. Maka 13+x ganjil, sehingga x genap.
Posisi median = (13+x+1)/2 = (14+x)/2.
Agar median = 3, maka data ke-(14+x)/2 harus berada di skor 3.
Ini berarti frekuensi kumulatif sebelum skor 3 (yaitu 12) < (14+x)/2 <= frekuensi kumulatif hingga skor 3 (yaitu 12+x).

12 < (14+x)/2  => 24 < 14 + x => x > 10
(14+x)/2 <= 12 + x => 14 + x <= 24 + 2x => -10 <= x

Karena x genap dan x > 10, maka x bisa 12, 14, 16, ...
Jika x=12, N=25. Posisi median = (25+1)/2 = 13. Data ke-13 adalah skor 3. Maka x=12 memenuhi.

Kasus 2: N genap. Maka 13+x genap, sehingga x ganjil.
Posisi median = rata-rata data ke-(13+x)/2 dan data ke-((13+x)/2 + 1).
Agar median = 3, maka kedua data ini harus bernilai 3.
Ini berarti data ke-(13+x)/2 adalah 3 dan data ke-((13+x)/2 + 1) adalah 3.

Ini mensyaratkan bahwa frekuensi kumulatif sebelum skor 3 (yaitu 12) < (13+x)/2, dan frekuensi kumulatif hingga skor 3 (yaitu 12+x) >= ((13+x)/2 + 1).

12 < (13+x)/2 => 24 < 13 + x => x > 11
12 + x >= (13+x)/2 + 1
24 + 2x >= 13 + x + 2
24 + 2x >= 15 + x
x >= -9

Karena x ganjil dan x > 11, maka x bisa 13, 15, 17, ...
Jika x=13, N=26. Posisi median = rata-rata data ke-13 dan 14. Data ke-13 adalah skor 3. Data ke-14 adalah skor 3. Median = 3. Maka x=13 memenuhi.

Soal ini biasanya mengacu pada nilai x yang membuat posisi median jatuh tepat pada kelompok skor tersebut. Dengan frekuensi kumulatif hingga skor 2 adalah 12, agar median adalah 3, maka data ke-13 haruslah bernilai 3. Ini terjadi jika frekuensi pada skor 3 (yaitu x) adalah minimal 1. Namun, kita perlu memastikan posisi median yang benar.

Mari kita uji pilihan umum jika ini soal pilihan ganda. Jika x = 5:
N = 18. Median pada data ke-9 dan 10. Data ke-1-2(0), 3-6(1), 7-12(2), 13-17(3). Data ke-9 dan 10 adalah 2. Median = 2.

Jika x = 7:
N = 20. Median pada data ke-10 dan 11. Data ke-7-12(2). Data ke-10 dan 11 adalah 2. Median = 2.

Jika x = 11:
N = 24. Median pada data ke-12 dan 13. Data ke-7-12(2). Data ke-13-23(3). Median = (2+3)/2 = 2.5.

Jika x = 12:
N = 25. Median pada data ke-13. Data ke-13 adalah skor 3. Median = 3.

Jadi, nilai x adalah 12.

Jawaban Ringkas:
Nilai x adalah 12.