Suatu balok ABCD.EFGH dengan AB=6 cm, BC=9 cm, dan CG=3 cm,

Sudutnya adalah $arccos(\\frac{2}{\\sqrt{5}})$.

Pembahasan

Diketahui balok ABCD.EFGH dengan panjang rusuk AB = 6 cm, BC = 9 cm, dan CG = 3 cm.
Kita diminta untuk menentukan besar sudut antara bidang BCHE dan bidang EFGH.

Bidang BCHE adalah bidang tegak yang dibatasi oleh rusuk BC, CH, HE, dan EB.
Bidang EFGH adalah bidang alas (atau tutup) balok yang dibatasi oleh rusuk EF, FG, GH, dan HE.

Untuk menentukan sudut antara dua bidang (bidang dihedral), kita perlu mencari garis potong kedua bidang tersebut dan mengambil titik pada garis potong tersebut. Dari titik tersebut, kita tarik dua garis tegak lurus terhadap garis potong, di mana masing-masing garis berada pada salah satu bidang.

Garis potong antara bidang BCHE dan bidang EFGH adalah garis EH.

Mari kita pilih titik H pada garis potong EH.

1. Cari garis pada bidang BCHE yang tegak lurus EH.
Bidang BCHE adalah persegi panjang (atau persegi jika semua sisi sama). Rusuk BC tegak lurus dengan rusuk AB dan rusuk CG. Rusuk EH sejajar dengan rusuk FG dan BC.
Dalam bidang BCHE, garis BC sejajar dengan EH. Namun, BC tidak tegak lurus EH. Rusuk CH tegak lurus dengan BC dan FG, tetapi tidak dengan EH.
Perhatikan bahwa rusuk HE tegak lurus dengan rusuk EF dan rusuk HG.

Dalam bidang BCHE:
Rusuk EH sejajar dengan BC.
Rusuk HE tegak lurus dengan EB dan HC.

Dalam bidang EFGH:
Rusuk EH adalah salah satu rusuknya.
Rusuk EF tegak lurus dengan EH.
Rusuk HG tegak lurus dengan EH.

Sekarang, mari kita tentukan garis yang tegak lurus dengan garis potong EH pada masing-masing bidang, dari titik yang sama.

Pilih titik H sebagai titik pada garis potong.
- Pada bidang EFGH, garis HG tegak lurus EH. Panjang HG = BC = 9 cm.
- Pada bidang BCHE, kita perlu mencari garis yang tegak lurus EH. Karena EH sejajar BC, maka garis yang tegak lurus EH pada bidang BCHE juga tegak lurus BC. Garis CH tegak lurus dengan BC (karena CG tegak lurus BC). Jadi, CH tegak lurus EH.

Jadi, sudut antara bidang BCHE dan bidang EFGH adalah sudut yang dibentuk oleh garis HG dan garis CH, yaitu sudut CHG.

Karena balok memiliki sudut siku-siku di setiap pertemuan rusuknya, maka sudut CHG adalah sudut siku-siku.

Panjang rusuk balok:
AB = EF = HG = DC = 6 cm
BC = FG = EH = AD = 9 cm
CG = BF = AE = DH = 3 cm

Perhatikan bidang BCGF. Bidang ini tegak lurus terhadap bidang EFGH (karena FG tegak lurus EF dan FG tegak lurus GH).
Perhatikan bidang CDHG. Bidang ini tegak lurus terhadap bidang EFGH (karena HG tegak lurus EF dan HG tegak lurus FG).

Bidang BCHE dibentuk oleh rusuk BC, CH, HE, EB.
Bidang EFGH dibentuk oleh rusuk EF, FG, GH, HE.

Garis potong kedua bidang adalah EH.
Pada bidang EFGH, garis FG tegak lurus EH.
Pada bidang BCHE, garis BC tegak lurus EH.

Sudut antara bidang BCHE dan EFGH adalah sudut yang dibentuk oleh garis FG dan garis BC, jika dilihat dari arah yang tegak lurus EH. 

Mari kita gunakan definisi sudut antara dua bidang. Sudut antara dua bidang adalah sudut antara dua garis yang tegak lurus pada garis potong kedua bidang tersebut, dan kedua garis tersebut berpotongan pada satu titik pada garis potong.

Garis potong: EH.
Pilih titik H pada EH.
- Pada bidang EFGH, garis yang tegak lurus EH adalah HG (atau EF).
- Pada bidang BCHE, garis yang tegak lurus EH adalah CH (atau BE).

Jadi, sudut antara bidang BCHE dan bidang EFGH adalah sudut yang dibentuk oleh garis HG dan garis CH, yaitu $\\angle CHG$. 

Karena ABCD.EFGH adalah balok, maka semua sudut pada bidang alas (EFGH) dan bidang tegaknya adalah siku-siku.
Rusuk CG tegak lurus dengan bidang EFGH. Ini berarti CG tegak lurus dengan EH dan FG.
Karena CG = DH = 3 cm, maka CH = $\\sqrt{CG^2 + GH^2}$ dan BH = $\\sqrt{BC^2 + CG^2}$. Ini tidak relevan.

Kita tahu bahwa HG tegak lurus EH (karena EFGH adalah persegi panjang).
Kita juga tahu bahwa CH tegak lurus EH. Mengapa?
Perhatikan bidang CDHG. Ini adalah persegi panjang. Rusuk DH tegak lurus HG dan DC. Rusuk CH tegak lurus HG dan DC. Garis EH sejajar dengan BC dan AD. Garis HG sejajar dengan EF dan AB.

Dalam bidang BCHE, kita memiliki rusuk BC, CH, HE, EB. Sisi EH = 9 cm, BC = 9 cm. Sisi EB = $\\sqrt{EF^2 + FB^2} = \\sqrt{6^2 + 3^2}$. Sisi CH = $\\sqrt{CG^2 + GH^2} = \\sqrt{3^2 + 9^2}$.

Sudut antara bidang BCHE dan EFGH. Garis potong adalah EH.
Pada bidang EFGH, garis HG $\\perp$ EH.
Pada bidang BCHE, kita perlu garis yang $\\perp$ EH. Garis BC $\\parallel$ EH. Maka garis yang $\\perp$ EH pada bidang BCHE sama dengan garis yang $\\perp$ BC pada bidang BCHE. Garis CH tegak lurus BC (karena CG $\\perp$ BC).

Jadi, sudut antara bidang BCHE dan bidang EFGH adalah sudut antara HG dan CH, yaitu $\\angle CHG$.

Karena CDHG adalah sebuah persegi panjang (dengan sisi CD=6 dan DH=3, atau sisi HG=6 dan DH=3), maka $\\angle CHG$ adalah sudut di dalam persegi panjang tersebut. Dalam persegi panjang, semua sudutnya adalah 90 derajat.

Panjang rusuk:
AB = 6
BC = 9
CG = 3

Jadi EF = 6, FG = 9, GH = 6, EH = 9.

Garis potong bidang BCHE dan EFGH adalah EH.
Pada bidang EFGH, garis HG tegak lurus EH.
Pada bidang BCHE, kita perlu garis yang tegak lurus EH. Karena BC sejajar EH, maka garis yang tegak lurus EH pada bidang ini adalah garis yang tegak lurus BC pada bidang ini. Garis CH tegak lurus BC (karena $\\angle BCH = 90^\circ$).

Jadi, sudut yang dicari adalah sudut antara HG dan CH, yaitu $\\angle CHG$.

Bidang CDHG adalah persegi panjang dengan sisi CD = 6 cm dan DH = 3 cm, atau sisi HG = 6 cm dan CH = $\\sqrt{CG^2 + GH^2} = \\sqrt{3^2 + 6^2} = \\sqrt{9+36} = \\sqrt{45}$.
Ini salah.

Bidang CDHG memiliki rusuk CD = 6, DH = 3, HG = 6, GC = 3. Ini adalah persegi panjang.
Jadi $\\angle CHG = 90^\circ$.

Perhatikan kembali.
Bidang BCHE dibatasi oleh rusuk BC, CH, HE, EB.
Bidang EFGH dibatasi oleh rusuk EF, FG, GH, HE.
Garis potong = EH.
Pada bidang EFGH, garis FG tegak lurus EH.
Pada bidang BCHE, garis BC tegak lurus EH.

Sudut antara dua bidang adalah sudut antara dua garis yang tegak lurus garis potong, dan kedua garis berpotongan pada satu titik di garis potong.
Ambil titik H pada EH.
- Dari bidang EFGH, garis HG tegak lurus EH.
- Dari bidang BCHE, kita perlu garis yang tegak lurus EH. Perhatikan bidang CDHG. Rusuk DH tegak lurus HG. Rusuk CH tegak lurus HG. Garis EH sejajar BC. Rusuk CH tegak lurus BC.

Karena EH sejajar BC, maka sudut antara bidang BCHE dan EFGH sama dengan sudut antara BC dan bidang EFGH jika BC tegak lurus EH. Ini tidak tepat.

Sudut antara bidang BCHE dan EFGH adalah sudut antara garis BC dan garis HG, karena keduanya tegak lurus terhadap EH pada bidang masing-masing (BC pada bidang BCHE, dan HG pada bidang EFGH) dan keduanya sejajar satu sama lain.

Namun, cara yang benar adalah mencari dua garis yang tegak lurus garis potong EH, yang berasal dari satu titik.
Titik H pada EH.
Garis HG pada bidang EFGH $\\perp$ EH.
Garis CH pada bidang BCHE $\\perp$ EH.

Jadi, sudut yang dicari adalah $\\angle CHG$.

Karena ABCD.EFGH adalah balok, maka sisi-sisi yang tegak lurus adalah:
- Rusuk vertikal (AE, BF, CG, DH) tegak lurus bidang alas EFGH dan bidang atas ABCD.
- Rusuk alas (AB, BC, CD, DA) tegak lurus rusuk vertikal yang berhubungan dengannya.

Bidang CDHG adalah sebuah persegi panjang, karena CD = AB = 6, DH = CG = 3, HG = EF = 6, GC = DH = 3. Sudut-sudut di dalamnya adalah 90 derajat. Maka $\\angle CHG = 90^\circ$.

Bidang BCGF adalah persegi panjang dengan BC = 9, CG = 3, GF = 9, FB = 3. Maka $\\angle CGF = 90^\circ$.

Bidang BCHE adalah persegi panjang jika BC=EH dan CH=BE. BC=9, EH=9. CH = $\\sqrt{CG^2+GH^2} = \\sqrt{3^2+6^2} = \\sqrt{9+36}=\\sqrt{45}$. BE = $\\sqrt{BF^2+FE^2} = \\sqrt{3^2+6^2} = \\sqrt{9+36}=\\sqrt{45}$. Jadi BCHE adalah persegi panjang.

Bidang EFGH adalah persegi panjang dengan EF=6, FG=9, GH=6, HE=9.

Garis potong = EH.
Pada bidang EFGH, garis FG tegak lurus EH.
Pada bidang BCHE, garis BC tegak lurus EH.

Karena FG sejajar BC, maka sudut antara bidang BCHE dan EFGH adalah sudut yang dibentuk oleh FG dan BC. Namun, sudut ini harus diukur pada satu titik yang sama dan tegak lurus garis potong.

Mari kita gunakan vektor.
Misalkan H sebagai titik asal (0,0,0).
E = (0, 9, 0)
G = (6, 0, 0)
H = (0, 0, 0)

Koordinat titik-titik:
H = (0, 0, 0)
G = (6, 0, 0) -> vektor $\\vec{HG} = (6, 0, 0)$
E = (0, 9, 0) -> vektor $\\vec{HE} = (0, 9, 0)$

Bidang EFGH terletak pada bidang xy (z=0).

C = (6, 0, 3)
B = (6, 9, 3)

Bidang BCHE dibatasi oleh titik B, C, H, E.
Kita perlu vektor normal untuk kedua bidang.

Bidang EFGH: Vektor normalnya adalah $\\vec{k} = (0, 0, 1)$ (sumbu z).

Bidang BCHE: Vektor yang terletak pada bidang ini adalah $\\vec{HC} = (6, 0, 3)$ dan $\\vec{HE} = (0, 9, 0)$.
Vektor normal $\\vec{n_1}$ tegak lurus $\\vec{HC}$ dan $\\vec{HE}$.
$\\vec{n_1} = \\vec{HC} \\times \\vec{HE} = egin{vmatrix} \\vec{i} & \\vec{j} & \\vec{k} \\ 6 & 0 & 3 \\ 0 & 9 & 0 \\ \\end{vmatrix} = \\vec{i}(0 - 27) - \\vec{j}(0 - 0) + \\vec{k}(54 - 0) = -27\\vec{i} + 54\\vec{k} = (-27, 0, 54)$.
Kita bisa sederhanakan menjadi $\\vec{n_1} = (-1, 0, 2)$.

Bidang EFGH: Vektor normal $\\vec{n_2} = (0, 0, 1)$.

Sudut $\\theta$ antara dua bidang diberikan oleh:
$\\cos \\theta = \frac{|\\vec{n_1} \\cdot \\vec{n_2}|}{|\\vec{n_1}| |\\vec{n_2}|}$
$\\vec{n_1} \\cdot \\vec{n_2} = (-1)(0) + (0)(0) + (2)(1) = 2$
$|\\vec{n_1}| = \\sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 2^2} = \\sqrt{1 + 4} = \\sqrt{5}$
$|\\vec{n_2}| = \\sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2} = 1$

$\\cos \\theta = \frac{|2|}{\\sqrt{5} \cdot 1} = \frac{2}{\\sqrt{5}}$
$\\theta = arccos(\\frac{2}{\\sqrt{5}})$