Suatu pabrik kain berbahan dasar kapas memproduksi kain
Pertanyaan
Sebuah pabrik kain berbahan dasar kapas memproduksi kain melalui dua tahap. Tahap pertama dengan bahan dasar kapas menggunakan mesin I menghasilkan benang bahan kain yang banyaknya dinyatakan dengan (1/5 x^2+x), kemudian bahan dasar benang diproses pada tahap selanjutnya menggunakan mesin II menghasilkan kain yang banyaknya dinyatakan dengan (3/4 x+1/5), dengan x merupakan banyak bahan yang diproses oleh mesin dalam satuan ton. a. Dengan memisalkan mesin I menghasilkan bahan benang dengan fungsi f dan mesin II menghasilkan kain dengan fungsi g, tuliskan fungsi h sebagai komposisi f dan g dari masalah di atas dalam variabel x. b. Dengan menggunakan fungsi h yang didapat dari jawaban a, tentukan banyak kain yang dihasilkan pabrik tersebut jika bahan dasar kapas yang tersedia untuk produksi sebanyak 10 ton.
Solusi
a. h(x) = 3/20 x^2 + 3/4 x + 1/5, b. 22.7 ton
Pembahasan
Misalkan $f(x)$ adalah fungsi yang menyatakan banyak benang yang dihasilkan mesin I dan $g(x)$ adalah fungsi yang menyatakan banyak kain yang dihasilkan mesin II. Diketahui: Fungsi benang (mesin I): $f(x) = \frac{1}{5}x^2 + x$ Fungsi kain (mesin II): $g(y) = \frac{3}{4}y + \frac{1}{5}$ a. Fungsi komposisi $h(x)$ yang menyatakan banyak kain sebagai hasil dari pemrosesan bahan dasar kapas melalui mesin I dan mesin II adalah $h(x) = g(f(x))$. $h(x) = g(\frac{1}{5}x^2 + x)$ $h(x) = \frac{3}{4}(\frac{1}{5}x^2 + x) + \frac{1}{5}$ $h(x) = \frac{3}{20}x^2 + \frac{3}{4}x + \frac{1}{5}$ b. Untuk menentukan banyak kain yang dihasilkan jika bahan dasar kapas sebanyak 10 ton, kita substitusikan $x=10$ ke dalam fungsi $h(x)$. $h(10) = \frac{3}{20}(10)^2 + \frac{3}{4}(10) + \frac{1}{5}$ $h(10) = \frac{3}{20}(100) + \frac{30}{4} + \frac{1}{5}$ $h(10) = 3 \times 5 + \frac{15}{2} + \frac{1}{5}$ $h(10) = 15 + 7.5 + 0.2$ $h(10) = 22.7$ Jadi, banyak kain yang dihasilkan pabrik tersebut jika bahan dasar kapas yang tersedia sebanyak 10 ton adalah 22.7 satuan.