Suatu perusahaan ingin pindah kantor dan akan mengangkut

Biaya minimum adalah Rp 1.800.000,00 dengan menyewa 6 mobil bak dan 8 truk.

Pembahasan

Ini adalah soal program linear yang bertujuan untuk meminimalkan biaya pengangkutan barang dengan batasan kapasitas kendaraan.

Mari kita definisikan variabel:
- Misalkan x = jumlah mobil bak yang disewa.
- Misalkan y = jumlah truk yang disewa.

Jumlah barang yang perlu diangkut:
- Kardus: 480
- Peti: 352

Kapasitas kendaraan:
- Mobil bak: minimal 40 kardus dan 16 peti.
- Truk: minimal 30 kardus dan 32 peti.

Fungsi tujuan (biaya yang diminimalkan):
Biaya = 100.000x + 150.000y

Kendala:
1. Kendala kardus: 40x + 30y >= 480
2. Kendala peti: 16x + 32y >= 352
3. Kendala non-negatif: x >= 0, y >= 0

Kita perlu mencari nilai x dan y (bilangan bulat non-negatif) yang memenuhi kendala tersebut dan meminimalkan fungsi biaya.

Untuk menyelesaikan ini, kita bisa menggunakan metode grafik atau metode simpleks. Mari kita sederhanakan kendala:
1. 4x + 3y >= 48
2. x + 2y >= 22

Kita bisa mencari titik-titik potong dari garis kendala dengan sumbu-sumbu koordinat atau titik potong antar garis kendala.

Titik potong garis 4x + 3y = 48:
- Jika x=0, 3y = 48 => y = 16. Titik (0, 16)
- Jika y=0, 4x = 48 => x = 12. Titik (12, 0)

Titik potong garis x + 2y = 22:
- Jika x=0, 2y = 22 => y = 11. Titik (0, 11)
- Jika y=0, x = 22. Titik (22, 0)

Titik potong kedua garis:
Dari x + 2y = 22, maka x = 22 - 2y.
Substitusikan ke 4x + 3y = 48:
4(22 - 2y) + 3y = 48
88 - 8y + 3y = 48
88 - 5y = 48
5y = 88 - 48
5y = 40
y = 8

Jika y = 8, maka x = 22 - 2(8) = 22 - 16 = 6.
Jadi, titik potongnya adalah (6, 8).

Sekarang, kita evaluasi fungsi biaya pada titik-titik sudut daerah yang memenuhi kendala (titik (0, 16), (12, 0), dan (6, 8)). Perlu diingat bahwa kita mencari nilai minimum, jadi kita akan memilih kombinasi x dan y yang paling efisien.

Evaluasi biaya:
- Di titik (0, 16): Biaya = 100.000(0) + 150.000(16) = 2.400.000
- Di titik (12, 0): Biaya = 100.000(12) + 150.000(0) = 1.200.000
- Di titik (6, 8): Biaya = 100.000(6) + 150.000(8) = 600.000 + 1.200.000 = 1.800.000

Dari perhitungan di atas, biaya minimum yang didapatkan adalah Rp 1.200.000,00 dengan menyewa 12 mobil bak dan 0 truk. Namun, mari kita periksa kembali batasan soal, apakah harus menyewa kedua jenis kendaraan atau tidak. Soal menyatakan "menyewa 2 jenis kendaraan", yang bisa diartikan minimal satu dari masing-masing atau memang harus keduanya.

Jika diasumsikan harus menyewa keduanya (x>0 dan y>0), maka titik (6, 8) adalah kandidatnya.

Mari kita periksa kendala dengan nilai x=12, y=0:
Kardus: 40(12) + 30(0) = 480 >= 480 (Terpenuhi)
Peti: 16(12) + 32(0) = 192. Ini TIDAK memenuhi 352 peti.

Mari kita periksa kendala dengan nilai x=0, y=16:
Kardus: 40(0) + 30(16) = 480 >= 480 (Terpenuhi)
Peti: 16(0) + 32(16) = 512 >= 352 (Terpenuhi)
Biaya = Rp 2.400.000

Mari kita periksa kendala dengan nilai x=6, y=8:
Kardus: 40(6) + 30(8) = 240 + 240 = 480 >= 480 (Terpenuhi)
Peti: 16(6) + 32(8) = 96 + 256 = 352 >= 352 (Terpenuhi)
Biaya = Rp 1.800.000

Karena kita mencari biaya minimum dan kendala terpenuhi pada titik (6, 8) dengan biaya Rp 1.800.000, ini adalah solusi yang valid. Namun, jika kita melihat titik lain yang mungkin memenuhi kendala, misalnya dengan menambah jumlah mobil bak dari (6,8) sedikit, atau truk. 

Jika kita perhatikan titik (6, 8), kita memerlukan 6 mobil bak dan 8 truk. Biayanya Rp 1.800.000.

Mari kita coba nilai x=5, y = ? dari x + 2y = 22 => 5 + 2y = 22 => 2y = 17 => y = 8.5. Tidak bulat.
Mari kita coba nilai y=7, x = ? dari x + 2y = 22 => x + 14 = 22 => x = 8. Cek kendala kardus: 40(8) + 30(7) = 320 + 210 = 530 >= 480. Cek kendala peti: 16(8) + 32(7) = 128 + 224 = 352 >= 352. Biaya = 100.000(8) + 150.000(7) = 800.000 + 1.050.000 = 1.850.000. Lebih mahal.

Mari kita coba nilai x=7, y=? dari 4x+3y=48 => 4(7)+3y=48 => 28+3y=48 => 3y=20 => y=6.67. Tidak bulat.

Jadi, berdasarkan titik-titik sudut yang valid, biaya minimum adalah Rp 1.800.000,00 dengan menyewa 6 mobil bak dan 8 truk.