Sebuah lingkaran melalui titik O(0,0), A(-2,4) , dan B(7,7)

4x + 3y = 49

Pembahasan

Untuk menemukan persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik B(7,7), kita perlu terlebih dahulu mencari pusat dan jari-jari lingkaran tersebut.
1. Persamaan umum lingkaran adalah (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2, di mana (a,b) adalah pusat dan r adalah jari-jari.
2. Karena lingkaran melalui O(0,0), A(-2,4), dan B(7,7), kita dapat mensubstitusikan koordinat titik-titik ini ke dalam persamaan umum:
   Untuk O(0,0): a^2 + b^2 = r^2
   Untuk A(-2,4): (-2-a)^2 + (4-b)^2 = r^2
   Untuk B(7,7): (7-a)^2 + (7-b)^2 = r^2
3. Samakan persamaan untuk O dan A:
   a^2 + b^2 = (-2-a)^2 + (4-b)^2
   a^2 + b^2 = 4 + 4a + a^2 + 16 - 8b + b^2
   0 = 20 + 4a - 8b
   4a - 8b = -20
   a - 2b = -5  (Persamaan 1)
4. Samakan persamaan untuk O dan B:
   a^2 + b^2 = (7-a)^2 + (7-b)^2
   a^2 + b^2 = 49 - 14a + a^2 + 49 - 14b + b^2
   0 = 98 - 14a - 14b
   14a + 14b = 98
   a + b = 7  (Persamaan 2)
5. Selesaikan sistem persamaan linear dari Persamaan 1 dan 2:
   Dari Persamaan 2, a = 7 - b.
   Substitusikan ke Persamaan 1:
   (7 - b) - 2b = -5
   7 - 3b = -5
   -3b = -12
   b = 4.
   Substitusikan b = 4 ke Persamaan 2:
   a + 4 = 7
   a = 3.
   Jadi, pusat lingkaran adalah (3,4).
6. Cari jari-jari (r^2) menggunakan pusat (3,4) dan titik O(0,0):
   r^2 = a^2 + b^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25.
7. Persamaan lingkaran adalah (x-3)^2 + (y-4)^2 = 25.
8. Sekarang, cari persamaan garis singgung di titik B(7,7).
   Gradien jari-jari yang menghubungkan pusat (3,4) dan titik B(7,7) adalah:
   m_radius = (7 - 4) / (7 - 3) = 3 / 4.
9. Gradien garis singgung tegak lurus terhadap gradien jari-jari, sehingga:
   m_singgung = -1 / m_radius = -1 / (3/4) = -4/3.
10. Gunakan rumus persamaan garis y - y1 = m(x - x1) dengan titik B(7,7) dan m_singgung = -4/3:
    y - 7 = (-4/3)(x - 7)
    3(y - 7) = -4(x - 7)
    3y - 21 = -4x + 28
    4x + 3y = 49.
Jadi, persamaan garis singgung lingkaran tersebut di titik B adalah 4x + 3y = 49.