Suatu perusahaan menghasilkan produk yang dapat

a. Keuntungan = -20.000x^2 + 5.000.000x - 4.000.000 rupiah. b. Keuntungan maksimum adalah Rp 308.500.000 pada minggu ke-125.

Pembahasan

a. Untuk menunjukkan bahwa keuntungan keseluruhan adalah (-20.000x^2 + 5.000.000x - 4.000.000) rupiah, kita gunakan rumus:
Keuntungan = Penerimaan - Ongkos

Diketahui:
Ongkos per satu barang = (500.000 + 4.000.000/x) rupiah
Penerimaan keseluruhan per minggu = (5.500.000x - 20.000x^2) rupiah

Karena penerimaan adalah per minggu dan ongkos adalah per satu barang, kita perlu mengalikan ongkos per barang dengan jumlah produk yang dihasilkan per minggu, yaitu x.
Total Ongkos = Ongkos per barang * jumlah produk
Total Ongkos = (500.000 + 4.000.000/x) * x
Total Ongkos = 500.000x + 4.000.000

Sekarang kita hitung keuntungan keseluruhan:
Keuntungan = (5.500.000x - 20.000x^2) - (500.000x + 4.000.000)
Keuntungan = 5.500.000x - 20.000x^2 - 500.000x - 4.000.000
Keuntungan = -20.000x^2 + (5.500.000x - 500.000x) - 4.000.000
Keuntungan = -20.000x^2 + 5.000.000x - 4.000.000 rupiah

b. Untuk menentukan keuntungan maksimum, kita perlu mencari nilai x yang membuat turunan pertama dari fungsi keuntungan sama dengan nol.
Fungsi keuntungan: K(x) = -20.000x^2 + 5.000.000x - 4.000.000

Turunan pertama (K'(x)):
K'(x) = d/dx (-20.000x^2 + 5.000.000x - 4.000.000)
K'(x) = -40.000x + 5.000.000

Samakan turunan pertama dengan nol:
-40.000x + 5.000.000 = 0
-40.000x = -5.000.000
x = -5.000.000 / -40.000
x = 500 / 4
x = 125

Jadi, keuntungan maksimum tercapai ketika produk diselesaikan dalam 125 minggu. Untuk mencari nilai keuntungan maksimum, substitusikan x = 125 ke dalam fungsi keuntungan:
Keuntungan Maksimum = -20.000(125)^2 + 5.000.000(125) - 4.000.000
Keuntungan Maksimum = -20.000(15.625) + 625.000.000 - 4.000.000
Keuntungan Maksimum = -312.500.000 + 625.000.000 - 4.000.000
Keuntungan Maksimum = 312.500.000 - 4.000.000
Keuntungan Maksimum = 308.500.000 rupiah.