Tentukan nilai m agar garis berikut menyinggung lingkaran

Nilai m adalah 0 atau -5/12.

Pembahasan

Untuk menentukan nilai m agar garis y = mx + 1 menyinggung lingkaran x^2 + y^2 + 2x + 8y - 8 = 0, kita perlu mencari kondisi di mana jarak dari pusat lingkaran ke garis tersebut sama dengan jari-jari lingkaran.

Langkah 1: Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran.
Persamaan lingkaran umum adalah (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2, di mana (a, b) adalah pusat dan r adalah jari-jari.
Persamaan yang diberikan adalah x^2 + y^2 + 2x + 8y - 8 = 0.
Kita bisa mengubahnya ke bentuk standar dengan melengkapkan kuadrat:
(x^2 + 2x) + (y^2 + 8y) = 8
(x^2 + 2x + 1) + (y^2 + 8y + 16) = 8 + 1 + 16
(x + 1)^2 + (y + 4)^2 = 25
Jadi, pusat lingkaran adalah (-1, -4) dan jari-jarinya adalah r = sqrt(25) = 5.

Langkah 2: Tentukan jarak dari pusat lingkaran ke garis y = mx + 1.
Bentuk umum persamaan garis adalah Ax + By + C = 0. Dalam kasus ini, y = mx + 1 dapat ditulis sebagai mx - y + 1 = 0. Jadi, A = m, B = -1, dan C = 1.
Jarak (d) dari titik (x0, y0) ke garis Ax + By + C = 0 diberikan oleh rumus:
d = |Ax0 + By0 + C| / sqrt(A^2 + B^2)
Dalam kasus ini, (x0, y0) = (-1, -4).
d = |m(-1) - (-4) + 1| / sqrt(m^2 + (-1)^2)
d = |-m + 4 + 1| / sqrt(m^2 + 1)
d = |-m + 5| / sqrt(m^2 + 1)

Langkah 3: Setel jarak sama dengan jari-jari.
Agar garis menyinggung lingkaran, jarak (d) harus sama dengan jari-jari (r).
d = r
|-m + 5| / sqrt(m^2 + 1) = 5
Kuadratkan kedua sisi:
(|-m + 5|^2) / (m^2 + 1) = 25
(m - 5)^2 = 25(m^2 + 1)
m^2 - 10m + 25 = 25m^2 + 25
0 = 24m^2 + 10m
0 = 2m(12m + 5)

Langkah 4: Selesaikan untuk m.
M = 0 atau 12m + 5 = 0
M = 0 atau m = -5/12

Jadi, nilai m agar garis menyinggung lingkaran adalah 0 atau -5/12.