Suku banyak ax^5-2x^4+3x^3+4x^2+bx-6 dibagi (x-2) sisanya

Sisanya adalah (1643/26)x^2 - (4393/26)x + (1263/13).

Pembahasan

Diketahui suku banyak P(x) = ax^5 - 2x^4 + 3x^3 + 4x^2 + bx - 6.
Ketika dibagi (x-2), sisanya 12. Berdasarkan teorema sisa, P(2) = 12.
Ketika dibagi (x-3), sisanya 159. Berdasarkan teorema sisa, P(3) = 159.

P(2) = a(2)^5 - 2(2)^4 + 3(2)^3 + 4(2)^2 + b(2) - 6 = 12
32a - 32 + 24 + 16 + 2b - 6 = 12
32a + 2b - 8 = 12
32a + 2b = 20
16a + b = 10 (Persamaan 1)

P(3) = a(3)^5 - 2(3)^4 + 3(3)^3 + 4(3)^2 + b(3) - 6 = 159
243a - 162 + 81 + 36 + 3b - 6 = 159
243a + 3b - 100 = 159
243a + 3b = 259 (Persamaan 2)

Dari Persamaan 1, b = 10 - 16a. Substitusikan ke Persamaan 2:
243a + 3(10 - 16a) = 259
243a + 30 - 48a = 259
195a = 229
a = 229/195

b = 10 - 16(229/195) = 10 - 3664/195 = (1950 - 3664)/195 = -1714/195

Sekarang, kita perlu mencari sisa jika P(x) dibagi dengan (x-1)(x-2)(x-3). Karena pembaginya berderajat 3, maka sisanya akan berderajat maksimal 2. Misalkan sisa P(x) = Sx^2 + Tx + U.

P(x) = Q(x)(x-1)(x-2)(x-3) + Sx^2 + Tx + U

P(1) = S(1)^2 + T(1) + U = S + T + U
P(2) = S(2)^2 + T(2) + U = 4S + 2T + U = 12
P(3) = S(3)^2 + T(3) + U = 9S + 3T + U = 159

Kita perlu menghitung P(1) terlebih dahulu:
P(1) = a(1)^5 - 2(1)^4 + 3(1)^3 + 4(1)^2 + b(1) - 6
P(1) = a - 2 + 3 + 4 + b - 6 = a + b - 1
P(1) = 229/195 - 1714/195 - 1 = (229 - 1714)/195 - 1 = -1485/195 - 1 = -297/39 - 1 = -99/13 - 1 = -112/13

Sekarang kita punya sistem persamaan linear:
1) S + T + U = -112/13
2) 4S + 2T + U = 12
3) 9S + 3T + U = 159

Kurangi Persamaan 1 dari Persamaan 2:
(4S + 2T + U) - (S + T + U) = 12 - (-112/13)
3S + T = 12 + 112/13 = (156 + 112)/13 = 268/13 (Persamaan 4)

Kurangi Persamaan 2 dari Persamaan 3:
(9S + 3T + U) - (4S + 2T + U) = 159 - 12
5S + T = 147 (Persamaan 5)

Kurangi Persamaan 4 dari Persamaan 5:
(5S + T) - (3S + T) = 147 - 268/13
2S = (1911 - 268)/13 = 1643/13
S = 1643/26

Substitusikan S ke Persamaan 5:
5(1643/26) + T = 147
8215/26 + T = 147
T = 147 - 8215/26 = (3822 - 8215)/26 = -4393/26

Substitusikan S dan T ke Persamaan 1:
1643/26 - 4393/26 + U = -112/13
-2750/26 + U = -112/13
-1375/13 + U = -112/13
U = (-112 + 1375)/13 = 1263/13

Jadi, sisanya adalah (1643/26)x^2 - (4393/26)x + (1263/13).