Tentukan panjang AB dan AD(BC//AD) serta luas jajaran

AB = 10(√3-1) cm, AD = 5(√6-√2) cm, Luas = 50(√3-1) cm²

Pembahasan

Untuk menentukan panjang AB dan AD serta luas jajaran genjang ABCD, kita dapat menggunakan sifat-sifat jajaran genjang dan aturan sinus. Diketahui:
- Sudut BAC = 30°
- Sudut CAD = 45°
- Panjang AC = 10 cm
- BC // AD

Karena BC // AD, maka sudut ACB = sudut CAD = 45° (sudut berseberangan dalam).
Sudut ABC = 180° - sudut BAC - sudut ACB = 180° - 30° - 45° = 105°.

Untuk mencari panjang AB, kita gunakan aturan sinus pada segitiga ABC:
AB / sin(ACB) = AC / sin(ABC)
AB / sin(45°) = 10 / sin(105°)
AB = 10 * sin(45°) / sin(105°)
Karena sin(105°) = sin(60° + 45°) = sin(60°)cos(45°) + cos(60°)sin(45°) = (√3/2)(√2/2) + (1/2)(√2/2) = (√6 + √2) / 4
AB = 10 * (√2/2) / ((√6 + √2) / 4)
AB = 5√2 / ((√6 + √2) / 4)
AB = 20√2 / (√6 + √2)
AB = 20√2 (√6 - √2) / ((√6 + √2)(√6 - √2))
AB = 20(√12 - 2) / (6 - 2)
AB = 20(2√3 - 2) / 4
AB = 10(√3 - 1) cm

Untuk mencari panjang AD, kita tahu bahwa AD = BC. Gunakan aturan sinus pada segitiga ABC:
BC / sin(BAC) = AC / sin(ABC)
BC / sin(30°) = 10 / sin(105°)
BC = 10 * sin(30°) / sin(105°)
BC = 10 * (1/2) / ((√6 + √2) / 4)
BC = 5 / ((√6 + √2) / 4)
BC = 20 / (√6 + √2)
BC = 20 (√6 - √2) / ((√6 + √2)(√6 - √2))
BC = 20 (√6 - √2) / (6 - 2)
BC = 20 (√6 - √2) / 4
BC = 5 (√6 - √2) cm
Jadi, AD = 5 (√6 - √2) cm.

Untuk menghitung luas jajaran genjang ABCD, kita bisa menggunakan rumus Luas = alas * tinggi. Atau Luas = AB * BC * sin(sudut antara AB dan BC).
Kita juga bisa menggunakan Luas = AC * BD * sin(sudut antara diagonal). Namun, kita belum tahu panjang BD.
Cara lain adalah dengan menjumlahkan luas segitiga ABC dan segitiga ADC. Karena jajaran genjang, Luas ABCD = 2 * Luas ABC.
Luas ABC = 1/2 * AB * AC * sin(BAC)
Luas ABC = 1/2 * [10(√3 - 1)] * 10 * sin(30°)
Luas ABC = 1/2 * 100(√3 - 1) * (1/2)
Luas ABC = 25(√3 - 1) cm²
Luas ABCD = 2 * Luas ABC = 50(√3 - 1) cm².

Alternatif lain untuk luas:
Luas = alas * tinggi. Misal alas AD, maka tinggi adalah jarak dari B ke AD. Ini agak rumit.
Kita bisa gunakan Luas = AB * sin(sudut ABC) * BC = AB * sin(sudut BAD) * AD (salah)
Luas = AB * AD * sin(sudut BAD).
Sudut BAD = Sudut BAC + Sudut CAD = 30° + 45° = 75°.
Luas = [10(√3 - 1)] * [5(√6 - √2)] * sin(75°)
Luas = 50(√3 - 1)(√6 - √2) * ((√6 + √2) / 4)
Luas = 50(√18 - √6 - √6 + √2) * ((√6 + √2) / 4)
Luas = 50(3√2 - 2√6 + √2) * ((√6 + √2) / 4)
Luas = 50(4√2 - 2√6) * ((√6 + √2) / 4)
Luas = 100(2√2 - √6) * ((√6 + √2) / 4)
Luas = 25(2√2 - √6) * (√6 + √2)
Luas = 25(2√12 + 4√2 - 6 - √12)
Luas = 25(4√3 + 4√2 - 6 - 2√3)
Luas = 25(2√3 + 4√2 - 6)
Ini berbeda. Mari kita cek kembali perhitungan sebelumnya.

Luas ABCD = 2 * Luas ABC = 50(√3 - 1) cm².
Mari kita cek Luas ADC.
Luas ADC = 1/2 * AC * AD * sin(CAD)
Luas ADC = 1/2 * 10 * [5(√6 - √2)] * sin(45°)
Luas ADC = 5 * 5(√6 - √2) * (√2/2)
Luas ADC = 25(√12 - 2) / 2
Luas ADC = 25(2√3 - 2) / 2
Luas ADC = 25(√3 - 1) cm².

Jadi Luas ABCD = Luas ABC + Luas ADC = 25(√3 - 1) + 25(√3 - 1) = 50(√3 - 1) cm².

Jawaban:
Panjang AB = 10(√3 - 1) cm
Panjang AD = 5(√6 - √2) cm
Luas Jajaran Genjang ABCD = 50(√3 - 1) cm²