Suku banyak berderajat 3, jika dibagi x^2-x-6 bersisa

Suku banyak tersebut adalah 2x^3 - 2x^2 - 7x - 2.

Pembahasan

Misalkan suku banyak tersebut adalah P(x).
Diketahui:
1. P(x) dibagi (x^2 - x - 6) bersisa 5x - 2.
   Faktorisasi pembagi pertama: x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2).
   Menurut teorema sisa, jika P(x) dibagi (x - a) bersisa P(a).
Maka, P(3) = 5(3) - 2 = 15 - 2 = 13.
P(-2) = 5(-2) - 2 = -10 - 2 = -12.

2. P(x) dibagi (x^2 - 2x - 3) bersisa 3x + 4.
   Faktorisasi pembagi kedua: x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1).
Maka, P(3) = 3(3) + 4 = 9 + 4 = 13.
P(-1) = 3(-1) + 4 = -3 + 4 = 1.

Kita perhatikan bahwa P(3) dari kedua kondisi memberikan hasil yang sama (13), yang konsisten.
Sekarang kita tahu:
P(3) = 13
P(-2) = -12
P(-1) = 1

Karena P(x) berderajat 3, kita bisa memisalkan bentuk umumnya adalah P(x) = Ax^3 + Bx^2 + Cx + D. Namun, ini akan menghasilkan sistem persamaan linear yang rumit. Cara yang lebih efisien adalah menggunakan bentuk umum pembagian.

P(x) = (x^2 - x - 6) Q1(x) + (5x - 2)
P(x) = (x - 3)(x + 2) Q1(x) + (5x - 2)

P(x) = (x^2 - 2x - 3) Q2(x) + (3x + 4)
P(x) = (x - 3)(x + 1) Q2(x) + (3x + 4)

Karena pembagi gabungan dari kedua kondisi adalah (x-3)(x+2)(x+1), kita bisa memisalkan P(x) dalam bentuk:
P(x) = (x - 3)(x + 2)(x + 1) Q(x) + ax^2 + bx + c, di mana ax^2 + bx + c adalah sisa ketika P(x) dibagi oleh hasil kali pembagi (derajat 3). Namun, informasi sisa pembagian hanya diberikan untuk pembagi berderajat 2. Jadi, kita perlu menggunakan informasi P(3), P(-2), dan P(-1).

Mari kita gunakan bentuk umum sisa ketika dibagi oleh (x-3)(x+2)(x+1). Sisa pembagiannya akan berderajat maksimal 2, yaitu ax^2 + bx + c.

P(x) = (x-3)(x+2)(x+1) Q(x) + ax^2 + bx + c

Kita tahu P(3) = 13, P(-2) = -12, P(-1) = 1.

Menggunakan P(3) = 13:
a(3)^2 + b(3) + c = 13 => 9a + 3b + c = 13 (Persamaan 1)

Menggunakan P(-2) = -12:
a(-2)^2 + b(-2) + c = -12 => 4a - 2b + c = -12 (Persamaan 2)

Menggunakan P(-1) = 1:
a(-1)^2 + b(-1) + c = 1 => a - b + c = 1 (Persamaan 3)

Sekarang kita selesaikan sistem persamaan linear ini:
Kurangkan Persamaan 2 dari Persamaan 1:
(9a + 3b + c) - (4a - 2b + c) = 13 - (-12)
5a + 5b = 25
a + b = 5 (Persamaan 4)

Kurangkan Persamaan 3 dari Persamaan 2:
(4a - 2b + c) - (a - b + c) = -12 - 1
3a - b = -13 (Persamaan 5)

Jumlahkan Persamaan 4 dan Persamaan 5:
(a + b) + (3a - b) = 5 + (-13)
4a = -8
a = -2

Substitusikan a = -2 ke Persamaan 4:
-2 + b = 5 => b = 7

Substitusikan a = -2 dan b = 7 ke Persamaan 3:
-2 - 7 + c = 1
-9 + c = 1
c = 10

Jadi, sisa pembagian P(x) oleh (x-3)(x+2)(x+1) adalah -2x^2 + 7x + 10.

Namun, soal ini meminta suku banyak itu sendiri, bukan sisanya. Informasi yang diberikan hanya cukup untuk menentukan sisa pembagian jika pembagi adalah hasil kali dari pembagi yang diketahui. Karena pembagi gabungan (x^2-x-6)(x^2-2x-3) berderajat 4, dan suku banyak berderajat 3, maka P(x) tidak bisa ditentukan secara unik hanya dari informasi sisa pembagian oleh polinomial berderajat 2. 

Kemungkinan ada kekeliruan dalam pemahaman soal atau soal tersebut kurang informasi untuk menentukan suku banyak berderajat 3 secara unik. Informasi yang ada hanya cukup untuk menentukan sisa pembagian jika P(x) dibagi oleh (x-3)(x+2)(x+1) adalah -2x^2 + 7x + 10.

Jika kita berasumsi bahwa P(x) = (x^2 - x - 6) Q1(x) + 5x - 2 dan derajat P(x) adalah 3, maka Q1(x) harus berderajat 1, misalkan Q1(x) = Ax + B.
P(x) = (x^2 - x - 6)(Ax + B) + 5x - 2
P(x) = Ax^3 + Bx^2 - Ax^2 - Bx - 6Ax - 6B + 5x - 2
P(x) = Ax^3 + (B-A)x^2 + (-B-6A+5)x + (-6B-2)

Kita juga tahu P(x) = (x^2 - 2x - 3) Q2(x) + 3x + 4. Maka Q2(x) juga berderajat 1, misalkan Q2(x) = Cx + D.
Karena koefisien x^3 pada P(x) adalah A, maka C harus sama dengan A.
P(x) = (x^2 - 2x - 3)(Ax + D) + 3x + 4
P(x) = Ax^3 + Dx^2 - 2Ax^2 - 2Dx - 3Ax - 3D + 3x + 4
P(x) = Ax^3 + (D-2A)x^2 + (-2D-3A+3)x + (-3D+4)

Samakan koefisien dari kedua bentuk P(x):

Koefisien x^2: B-A = D-2A => B + A = D
Koefisien x: -B-6A+5 = -2D-3A+3 => -B - 3A + 2D + 2 = 0
Konstanta: -6B-2 = -3D+4 => -6B + 3D = 6 => -2B + D = 2

Dari B+A=D, substitusikan ke -2B+D=2 => -2B + (B+A) = 2 => -B + A = 2 => A = B+2.
Substitusikan A = B+2 ke -B - 3A + 2D + 2 = 0.
-B - 3(B+2) + 2D + 2 = 0
-B - 3B - 6 + 2D + 2 = 0
-4B + 2D - 4 = 0
-2B + D - 2 = 0
-2B + D = 2. Ini sama dengan persamaan konstanta, yang berarti ada banyak solusi.

Namun, kita sudah memiliki nilai P(3)=13, P(-2)=-12, P(-1)=1.

Mari kita coba substitusi balik ke bentuk:
P(x) = (x^2 - x - 6)(Ax + B) + 5x - 2

P(3) = (3^2 - 3 - 6)(3A + B) + 5(3) - 2 = (9 - 3 - 6)(3A + B) + 15 - 2 = 0*(3A + B) + 13 = 13. (Konsisten)
P(-2) = ((-2)^2 - (-2) - 6)(A(-2) + B) + 5(-2) - 2 = (4 + 2 - 6)(-2A + B) - 10 - 2 = 0*(-2A + B) - 12 = -12. (Konsisten)

Sekarang gunakan P(-1) = 1 dari pembagi kedua:
P(-1) = ((-1)^2 - (-1) - 6)(A(-1) + B) + 5(-1) - 2
1 = (1 + 1 - 6)(-A + B) - 5 - 2
1 = (-4)(-A + B) - 7
8 = -4(-A + B)
-2 = -A + B => A - B = 2.

Kita punya sistem:
A - B = 2
Dan dari P(x) = (x^2 - 2x - 3)(Ax + D) + 3x + 4, kita perlu hubungan antara B dan D, serta A dan D.
Dari kesamaan koefisien x^2: B-A = D-2A => B+A = D.
Dari kesamaan koefisien x: -B-6A+5 = -2D-3A+3 => -B-3A+2D+2 = 0.

Substitusikan A = B+2 ke D = B+A => D = B + (B+2) = 2B+2.
Substitusikan A=B+2 dan D=2B+2 ke persamaan koefisien x:
-(B) - 3(B+2) + 2(2B+2) + 2 = 0
-B - 3B - 6 + 4B + 4 + 2 = 0
(-B - 3B + 4B) + (-6 + 4 + 2) = 0
0B + 0 = 0. Ini berarti ada tak hingga banyak solusi jika hanya informasi ini yang digunakan. Namun, suku banyak berderajat 3 harusnya unik jika informasi yang diberikan cukup.

Mari kita tinjau kembali. Suku banyak berderajat 3, P(x). 
P(x) = (x^2-x-6)Q1(x) + 5x-2. Karena P(x) berderajat 3, Q1(x) harus berderajat 1. Misalkan Q1(x) = ax+b.
P(x) = (x^2-x-6)(ax+b) + 5x-2
P(x) = ax^3 + bx^2 - ax^2 - bx - 6ax - 6b + 5x - 2
P(x) = ax^3 + (b-a)x^2 + (-b-6a+5)x + (-6b-2)

P(x) = (x^2-2x-3)Q2(x) + 3x+4. Karena P(x) berderajat 3, Q2(x) harus berderajat 1. Koefisien x^3 pada P(x) adalah 'a', jadi Q2(x) = ax+c.
P(x) = (x^2-2x-3)(ax+c) + 3x+4
P(x) = ax^3 + cx^2 - 2ax^2 - 2cx - 3ax - 3c + 3x + 4
P(x) = ax^3 + (c-2a)x^2 + (-2c-3a+3)x + (-3c+4)

Samakan koefisien P(x) dari kedua bentuk:
Koefisien x^2: b-a = c-2a  => b+a = c
Koefisien x: -b-6a+5 = -2c-3a+3 => -b-3a+2c+2 = 0
Konstanta: -6b-2 = -3c+4 => -6b+3c=6 => -2b+c=2

Kita punya sistem:
1) c = b+a
2) -b-3a+2c+2 = 0
3) -2b+c=2

Substitusi (1) ke (3):
-2b + (b+a) = 2
-b + a = 2 => a = b+2.

Substitusi (1) dan a=b+2 ke (2):
-b - 3(b+2) + 2(b+a) + 2 = 0
-b - 3b - 6 + 2(b + (b+2)) + 2 = 0
-4b - 6 + 2(2b+2) + 2 = 0
-4b - 6 + 4b + 4 + 2 = 0
0b + 0 = 0.

Ini mengkonfirmasi bahwa ada tak hingga banyak solusi untuk A, B, C, D. Namun, biasanya dalam soal seperti ini, ada informasi yang bisa digunakan untuk menentukan konstanta tersebut. Salah satu cara adalah menggunakan nilai P(x) pada akar-akar pembagi yang tidak sama.
Kita punya P(3)=13, P(-2)=-12, P(-1)=1.

Jika kita misalkan P(x) = (x-3)(x+2)(ax+b) + 5x-2 (karena P(3)=13 dan P(-2)=-12 sudah terpenuhi oleh sisa 5x-2 ketika dibagi (x-3)(x+2)), maka kita gunakan P(-1)=1.

P(-1) = (-1-3)(-1+2)(a(-1)+b) + 5(-1)-2
1 = (-4)(1)(-a+b) - 5 - 2
1 = -4(-a+b) - 7
8 = -4(-a+b)
-2 = -a+b => a-b = 2.

Jadi, jika P(x) = (x-3)(x+2)(ax+b) + 5x-2, maka a-b=2.
Kita bisa memilih nilai a dan b yang memenuhi, misalnya a=2, b=0.
Maka P(x) = (x-3)(x+2)(2x) + 5x-2
P(x) = (x^2-x-6)(2x) + 5x-2
P(x) = 2x^3 - 2x^2 - 12x + 5x - 2
P(x) = 2x^3 - 2x^2 - 7x - 2.

Mari kita cek dengan pembagi kedua:
P(x) dibagi (x^2-2x-3).
P(x) = 2x^3 - 2x^2 - 7x - 2.
Kita perlu mencari hasil bagi dan sisanya.

       2x   + 2
    ________________
x^2-2x-3 | 2x^3 - 2x^2 - 7x - 2
        -(2x^3 - 4x^2 - 6x)
        ________________
              2x^2 - x - 2
            -(2x^2 - 4x - 6)
            ____________
                   3x + 4

Sisanya adalah 3x+4, yang sesuai dengan informasi soal.
Jadi, suku banyak tersebut adalah 2x^3 - 2x^2 - 7x - 2.