Suku ke n suatu barisan aritmetika adalah a_(n) . Jika

9

Pembahasan

Diketahui barisan aritmetika dengan suku ke-n adalah a_n.
Diketahui kondisi: a_1 * a_3 = a_2 * a_4
Asumsi: Tidak ada dua suku bernilai sama.
Ditanya: Nilai dari (a_7)/(a_3)

Langkah 1: Gunakan rumus suku ke-n barisan aritmetika: a_n = a_1 + (n-1)b, di mana a_1 adalah suku pertama dan b adalah beda.

a_1 = a_1
a_2 = a_1 + b
a_3 = a_1 + 2b
a_4 = a_1 + 3b
a_7 = a_1 + 6b

Langkah 2: Substitusikan rumus suku ke-n ke dalam kondisi yang diberikan:
a_1 * (a_1 + 2b) = (a_1 + b) * (a_1 + 3b)

Langkah 3: Jabarkan kedua sisi persamaan:
a_1^2 + 2a_1b = a_1^2 + 3a_1b + a_1b + 3b^2
a_1^2 + 2a_1b = a_1^2 + 4a_1b + 3b^2

Langkah 4: Pindahkan semua suku ke satu sisi untuk menyederhanakan:
0 = a_1^2 + 4a_1b + 3b^2 - a_1^2 - 2a_1b
0 = 2a_1b + 3b^2

Langkah 5: Faktorkan persamaan:
0 = b (2a_1 + 3b)

Langkah 6: Analisis hasil faktorisasi.
Ada dua kemungkinan:
   a) b = 0. Jika b=0, maka semua suku sama (a_1 = a_2 = a_3 = ...). Ini bertentangan dengan syarat "tidak ada dua suku bernilai sama". Jadi, b ≠ 0.
   b) 2a_1 + 3b = 0. Ini berarti 2a_1 = -3b, atau a_1 = -3/2 b.

Langkah 7: Hitung nilai dari (a_7)/(a_3).
Kita perlu mencari nilai perbandingan ini. Mari kita substitusikan a_1 = -3/2 b ke dalam rumus a_7 dan a_3.

a_3 = a_1 + 2b = (-3/2 b) + 2b = (-3/2 + 4/2)b = 1/2 b

a_7 = a_1 + 6b = (-3/2 b) + 6b = (-3/2 + 12/2)b = 9/2 b

Langkah 8: Hitung perbandingannya:
(a_7) / (a_3) = (9/2 b) / (1/2 b)
(a_7) / (a_3) = (9/2) / (1/2)
(a_7) / (a_3) = 9/2 * 2/1
(a_7) / (a_3) = 9

Jadi, nilai dari (a_7)/(a_3) adalah 9.