Supaya garis-garis y=kx tidak memotong lingkaran

k < 0 atau k > 4/3

Pembahasan

Lingkaran x^2 + y^2 - 4x - 2y + 4 = 0 dapat ditulis ulang dalam bentuk standar (x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2 dengan melengkapi kuadrat:
(x^2 - 4x) + (y^2 - 2y) = -4
(x^2 - 4x + 4) + (y^2 - 2y + 1) = -4 + 4 + 1
(x-2)^2 + (y-1)^2 = 1

Ini adalah lingkaran dengan pusat (2, 1) dan jari-jari 1.

Garis y = kx melewati titik asal (0,0).
Agar garis y = kx tidak memotong lingkaran, jarak dari pusat lingkaran (2,1) ke garis y = kx (atau kx - y = 0) harus lebih besar dari jari-jari lingkaran (r=1).

Jarak (d) dari titik (x0, y0) ke garis Ax + By + C = 0 adalah: d = |Ax0 + By0 + C| / sqrt(A^2 + B^2)
Dalam kasus ini, (x0, y0) = (2, 1), A = k, B = -1, C = 0.

d = |k(2) + (-1)(1) + 0| / sqrt(k^2 + (-1)^2)
d = |2k - 1| / sqrt(k^2 + 1)

Agar tidak memotong, d > r:
|2k - 1| / sqrt(k^2 + 1) > 1
|2k - 1| > sqrt(k^2 + 1)
Kuadratkan kedua sisi:
(2k - 1)^2 > k^2 + 1
4k^2 - 4k + 1 > k^2 + 1
4k^2 - k^2 - 4k > 1 - 1
3k^2 - 4k > 0
k(3k - 4) > 0

Ini terjadi ketika k < 0 atau k > 4/3.