Susunlah suatu persamaan suku banyak dalam y yang

a. $y^3 - 12y^2 + 44y - 48 = 0$, b. $y^3 + 6y^2 + 11y + 6 = 0$, c. $y^4 - 12y^3 + 26y^2 + 12y - 27 = 0$.

Pembahasan

Untuk menyusun persamaan suku banyak baru berdasarkan akar-akar dari persamaan yang diberikan, kita perlu memahami hubungan antara akar-akar dan koefisien polinomial, serta bagaimana transformasi pada akar mempengaruhi persamaan.

Misalkan persamaan awal adalah P(x) = 0 dengan akar-akar α, β, γ.
Persamaan baru akan memiliki akar-akar yang merupakan transformasi dari α, β, γ.

Kita akan menggunakan Teorema Vieta dan substitusi.

Persamaan awal: $x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0$
Menurut Teorema Vieta:
α + β + γ = 6
αβ + αγ + βγ = 11
αβγ = 6

Persamaan kedua: $x^4 + 12x^3 + 26x^2 - 12x - 27 = 0$
Misalkan akar-akarnya adalah p, q, r, s.

a. Akar-akar persamaan baru adalah dua kali akar-akar $x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0$.
Jika akar-akar baru adalah y = 2x, maka x = y/2.
Substitusikan x = y/2 ke dalam persamaan awal:
$(y/2)^3 - 6(y/2)^2 + 11(y/2) - 6 = 0$
$y^3/8 - 6(y^2/4) + 11y/2 - 6 = 0$
$y^3/8 - 3y^2/2 + 11y/2 - 6 = 0$
Kalikan seluruhnya dengan 8:
$y^3 - 12y^2 + 44y - 48 = 0$

b. Akar-akar persamaan baru berlawanan dengan akar-akar dari $x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0$.
Jika akar-akar baru adalah y = -x, maka x = -y.
Substitusikan x = -y ke dalam persamaan awal:
$(-y)^3 - 6(-y)^2 + 11(-y) - 6 = 0$
$-y^3 - 6y^2 - 11y - 6 = 0$
Kalikan seluruhnya dengan -1:
$y^3 + 6y^2 + 11y + 6 = 0$

c. Akar-akar persamaan baru berlawanan dengan akar-akar dari $x^4 + 12x^3 + 26x^2 - 12x - 27 = 0$.
Jika akar-akar baru adalah y = -x, maka x = -y.
Substitusikan x = -y ke dalam persamaan kedua:
$(-y)^4 + 12(-y)^3 + 26(-y)^2 - 12(-y) - 27 = 0$
$y^4 - 12y^3 + 26y^2 + 12y - 27 = 0$