T.ABC adalah bidang empat dengan alas segitiga siku-siku

Sudut antara bidang TBC dan bidang alas adalah 60 derajat.

Pembahasan

Untuk menentukan sudut antara bidang TBC dan bidang alas ABC, kita perlu mencari dua garis yang saling tegak lurus yang terletak pada kedua bidang tersebut dan berpotongan pada satu titik. Titik B dan C adalah perpotongan antara bidang TBC dan bidang alas ABC.

Diketahui:
- T.ABC adalah bidang empat (limas segitiga).
- Alas segitiga ABC siku-siku di A.
- Sisi AB = AC (segitiga ABC sama kaki).
- TA tegak lurus pada alas ABC.
- TA = 5√3 m.
- BC = 10 m.

Karena TA tegak lurus pada alas, maka TA tegak lurus pada setiap garis di alas yang melalui A, termasuk AB dan AC.

Karena segitiga ABC siku-siku di A dan AB = AC, maka segitiga ABC adalah segitiga siku-siku sama kaki. Dengan teorema Pythagoras pada segitiga ABC:
BC^2 = AB^2 + AC^2
10^2 = AB^2 + AB^2 (karena AB=AC)
100 = 2 * AB^2
AB^2 = 50
AB = √50 = 5√2 m.
Jadi, AB = AC = 5√2 m.

Untuk mencari sudut antara bidang TBC dan bidang alas ABC, kita perlu mencari garis pada bidang TBC yang tegak lurus BC, dan garis pada bidang alas ABC yang tegak lurus BC, di titik perpotongan yang sama.

Karena segitiga ABC siku-siku sama kaki di A, titik A adalah titik di alas yang berjarak sama dari B dan C. Garis tinggi dari A ke BC akan membagi BC menjadi dua sama panjang. Misalkan titik tengah BC adalah M. Maka BM = MC = 5 m.

Dalam segitiga ABC, AM adalah garis tinggi sekaligus median. Kita bisa mencari panjang AM menggunakan teorema Pythagoras pada segitiga ABM (siku-siku di M):
AB^2 = AM^2 + BM^2
(5√2)^2 = AM^2 + 5^2
50 = AM^2 + 25
AM^2 = 25
AM = 5 m.

Sekarang, perhatikan bidang TBC. Kita perlu mencari garis dari T ke BC yang tegak lurus BC. Karena TA tegak lurus alas, dan segitiga ABC sama kaki, maka segitiga TBC juga akan sama kaki dengan TB = TC. Ini bisa dibuktikan dengan teorema Pythagoras pada segitiga TAB dan TAC:
TB^2 = TA^2 + AB^2 = (5√3)^2 + (5√2)^2 = 75 + 50 = 125 => TB = √125 = 5√5 m.
TC^2 = TA^2 + AC^2 = (5√3)^2 + (5√2)^2 = 75 + 50 = 125 => TC = √125 = 5√5 m.
Karena TB = TC, segitiga TBC adalah sama kaki. Garis tinggi dari T ke BC akan jatuh pada titik tengah BC, yaitu M.
Jadi, TM adalah garis tinggi dari T ke BC pada bidang TBC, dan TM tegak lurus BC.

Kita perlu mencari panjang TM menggunakan teorema Pythagoras pada segitiga TAM (siku-siku di A, karena TA tegak lurus alas):
TM^2 = TA^2 + AM^2
TM^2 = (5√3)^2 + 5^2
TM^2 = 75 + 25
TM^2 = 100
TM = 10 m.

Sudut antara bidang TBC dan bidang alas ABC adalah sudut antara garis TM (pada bidang TBC, tegak lurus BC) dan garis AM (pada bidang alas, tegak lurus BC) di titik M. Sudut ini adalah sudut T M A.

Sekarang kita gunakan segitiga TAM untuk mencari sudut TMA.
Kita memiliki:
- TA = 5√3 m (sisi depan sudut TMA)
- AM = 5 m (sisi samping sudut TMA)
- TM = 10 m (sisi miring)

Gunakan fungsi tangen:
tan(sudut TMA) = sisi depan / sisi samping
tan(sudut TMA) = TA / AM
tan(sudut TMA) = (5√3) / 5
tan(sudut TMA) = √3

Sudut yang memiliki nilai tangen √3 adalah 60 derajat.

Jadi, sudut antara bidang TBC dan bidang alas adalah 60 derajat.