Tanpa menggunakan tabel atau kalkulator, hitunglah: a. tan

a. 2 - √3, b. (√2 - √6) / 4, c. -(√6 + √2) / 4

Pembahasan

Untuk menghitung nilai trigonometri tanpa tabel atau kalkulator, kita dapat menggunakan identitas trigonometri jumlah dan selisih sudut.

a. tan 15°
Kita bisa menggunakan tan(45° - 30°):
tan(A - B) = (tan A - tan B) / (1 + tan A tan B)
tan 15° = (tan 45° - tan 30°) / (1 + tan 45° tan 30°)
tan 15° = (1 - 1/√3) / (1 + 1 * 1/√3)
tan 15° = ((√3 - 1)/√3) / ((√3 + 1)/√3)
tan 15° = (√3 - 1) / (√3 + 1)
Untuk merasionalkan penyebut, kalikan dengan konjugatnya:
tan 15° = [(√3 - 1) * (√3 - 1)] / [(√3 + 1) * (√3 - 1)]
tan 15° = (3 - 2√3 + 1) / (3 - 1)
tan 15° = (4 - 2√3) / 2
tan 15° = 2 - √3

b. cos 105°
Kita bisa menggunakan cos(60° + 45°):
cos(A + B) = cos A cos B - sin A sin B
cos 105° = cos 60° cos 45° - sin 60° sin 45°
cos 105° = (1/2) * (1/√2) - (√3/2) * (1/√2)
cos 105° = 1/(2√2) - √3/(2√2)
cos 105° = (1 - √3) / (2√2)
Untuk merasionalkan penyebut:
cos 105° = [(1 - √3) * √2] / [(2√2) * √2]
cos 105° = (√2 - √6) / 4

c. sin 255°
Kita bisa menggunakan sin(210° + 45°) atau sin(270° - 15°).
Menggunakan sin(270° - 15°):
sin(A - B) = sin A cos B - cos A sin B
sin(270° - 15°) = sin 270° cos 15° - cos 270° sin 15°
sin 270° = -1 dan cos 270° = 0
sin 255° = (-1) * cos 15° - (0) * sin 15°
sin 255° = -cos 15°
Untuk mencari cos 15°, kita bisa gunakan cos(45° - 30°):
cos(A - B) = cos A cos B + sin A sin B
cos 15° = cos 45° cos 30° + sin 45° sin 30°
cos 15° = (1/√2) * (√3/2) + (1/√2) * (1/2)
cos 15° = √3/(2√2) + 1/(2√2)
cos 15° = (√3 + 1) / (2√2)
Rasionalkan penyebut:
cos 15° = [(√3 + 1) * √2] / [(2√2) * √2]
cos 15° = (√6 + √2) / 4

Maka, sin 255° = -cos 15° = -(√6 + √2) / 4

Jawaban:
a. tan 15° = 2 - √3
b. cos 105° = (√2 - √6) / 4
c. sin 255° = -(√6 + √2) / 4