Tentukan akar-akar penyelesaian dari a. x^3 - x^2 - 4x + 4

Akar-akar persamaan a adalah 1, 2, -2. Akar-akar persamaan b adalah 3, $i\frac{\sqrt{6}}{3}$, $-i\frac{\sqrt{6}}{3}$.

Pembahasan

Kita akan mencari akar-akar penyelesaian dari dua persamaan polinomial.

a. $x^3 - x^2 - 4x + 4 = 0$
Kita dapat menggunakan metode pemfaktoran.
Kelompokkan suku-sukunya:
$(x^3 - x^2) - (4x - 4) = 0$
Keluarkan faktor persekutuan dari setiap kelompok:
$x^2(x - 1) - 4(x - 1) = 0$
Keluarkan faktor $(x - 1)$:
$(x - 1)(x^2 - 4) = 0$
Faktorkan selisih kuadrat $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$:
$(x - 1)(x - 2)(x + 2) = 0$
Akar-akar penyelesaiannya adalah nilai $x$ yang membuat setiap faktor sama dengan nol:
$x - 1 = 0 \implies x = 1$
$x - 2 = 0 \implies x = 2$
$x + 2 = 0 \implies x = -2$
Jadi, akar-akar penyelesaian dari persamaan a adalah $1, 2, -2$.

b. $3x^3 - 9x^2 + 2x - 6 = 0$
Kita juga dapat menggunakan metode pemfaktoran dengan pengelompokan:
$(3x^3 - 9x^2) + (2x - 6) = 0$
Keluarkan faktor persekutuan dari setiap kelompok:
$3x^2(x - 3) + 2(x - 3) = 0$
Keluarkan faktor $(x - 3)$:
$(x - 3)(3x^2 + 2) = 0$
Akar-akar penyelesaiannya adalah nilai $x$ yang membuat setiap faktor sama dengan nol:
$x - 3 = 0 \implies x = 3$
$3x^2 + 2 = 0 
3x^2 = -2
x^2 = -rac{2}{3}$
Akar-akar dari $x^2 = -rac{2}{3}$ adalah bilangan kompleks, yaitu $x = \pm i\sqrt{\frac{2}{3}} = \pm i\frac{\sqrt{6}}{3}$.
Jadi, akar-akar penyelesaian dari persamaan b adalah $3, i\frac{\sqrt{6}}{3}, -i\frac{\sqrt{6}}{3}$.