Tentukan akar-akar rasioanl dari setiap persamaan suku

Akar-akar rasionalnya adalah 1, 2, -2, dan -1/2.

Pembahasan

Untuk menentukan akar-akar rasional dari persamaan suku banyak 2x^4 - x^3 - 9x^2 + 4x + 4 = 0, kita dapat menggunakan Teorema Akar Rasional. Teorema ini menyatakan bahwa jika suatu suku banyak memiliki koefisien bilangan bulat, maka setiap akar rasional p/q (dalam bentuk paling sederhana) harus memenuhi bahwa p adalah faktor dari konstanta suku banyak (yaitu 4) dan q adalah faktor dari koefisien utama suku banyak (yaitu 2). Faktor dari konstanta (4) adalah ±1, ±2, ±4. Faktor dari koefisien utama (2) adalah ±1, ±2. Jadi, kemungkinan akar rasional (p/q) adalah: ±1/1, ±2/1, ±4/1, ±1/2, ±2/2, ±4/2. Disederhanakan menjadi: ±1, ±2, ±4, ±1/2. Sekarang kita uji nilai-nilai ini ke dalam persamaan: Uji x = 1: 2(1)^4 - (1)^3 - 9(1)^2 + 4(1) + 4 = 2 - 1 - 9 + 4 + 4 = 0. Jadi, x = 1 adalah salah satu akar rasional. Uji x = -1: 2(-1)^4 - (-1)^3 - 9(-1)^2 + 4(-1) + 4 = 2(1) - (-1) - 9(1) - 4 + 4 = 2 + 1 - 9 - 4 + 4 = -6 ≠ 0. Uji x = 2: 2(2)^4 - (2)^3 - 9(2)^2 + 4(2) + 4 = 2(16) - 8 - 9(4) + 8 + 4 = 32 - 8 - 36 + 8 + 4 = 0. Jadi, x = 2 adalah salah satu akar rasional. Uji x = -2: 2(-2)^4 - (-2)^3 - 9(-2)^2 + 4(-2) + 4 = 2(16) - (-8) - 9(4) - 8 + 4 = 32 + 8 - 36 - 8 + 4 = 0. Jadi, x = -2 adalah salah satu akar rasional. Uji x = 1/2: 2(1/2)^4 - (1/2)^3 - 9(1/2)^2 + 4(1/2) + 4 = 2(1/16) - 1/8 - 9(1/4) + 2 + 4 = 1/8 - 1/8 - 9/4 + 6 = -9/4 + 24/4 = 15/4 ≠ 0. Uji x = -1/2: 2(-1/2)^4 - (-1/2)^3 - 9(-1/2)^2 + 4(-1/2) + 4 = 2(1/16) - (-1/8) - 9(1/4) - 2 + 4 = 1/8 + 1/8 - 9/4 + 2 = 2/8 - 9/4 + 2 = 1/4 - 9/4 + 8/4 = 0/4 = 0. Jadi, x = -1/2 adalah salah satu akar rasional. Karena kita telah menemukan empat akar rasional (sesuai dengan derajat polinomial 4), maka akar-akar rasional dari persamaan tersebut adalah 1, 2, -2, dan -1/2.