Tentukan bayangan persamaan lingkaran x^2+y^2=25 oleh

Persamaan bayangan lingkaran adalah (x+1)^2 + (y-3)^2 = 25.

Pembahasan

Persamaan lingkaran awal adalah x^2 + y^2 = 25. Ini adalah lingkaran dengan pusat di (0,0) dan jari-jari 5.

Translasi yang diberikan adalah T = (-1, 3). Ini berarti setiap titik (x, y) pada lingkaran asli akan dipetakan ke titik baru (x', y') sedemikian rupa sehingga x' = x - 1 dan y' = y + 3.

Untuk menemukan bayangan persamaan lingkaran, kita perlu mengekspresikan x dan y dalam bentuk x' dan y'. Dari definisi translasi:
x = x' + 1
y = y' - 3

Sekarang, substitusikan ekspresi x dan y ini ke dalam persamaan lingkaran asli:
(x' + 1)^2 + (y' - 3)^2 = 25

Jabarkan kuadratnya:
(x'^2 + 2x' + 1) + (y'^2 - 6y' + 9) = 25

Gabungkan konstanta:
x'^2 + 2x' + y'^2 - 6y' + 10 = 25

Pindahkan konstanta ke sisi kanan:
x'^2 + 2x' + y'^2 - 6y' = 25 - 10

x'^2 + 2x' + y'^2 - 6y' = 15

Karena x' dan y' adalah variabel umum untuk titik bayangan, kita bisa menulis ulang persamaan dalam bentuk x dan y:
x^2 + 2x + y^2 - 6y = 15

Ini adalah persamaan bayangan lingkaran setelah ditranslasikan. Untuk melihat pusat dan jari-jarinya, kita bisa melengkapkan kuadrat:
(x^2 + 2x + 1) + (y^2 - 6y + 9) = 15 + 1 + 9
(x + 1)^2 + (y - 3)^2 = 25

Ini menunjukkan bahwa bayangan lingkaran memiliki pusat di (-1, 3) dan jari-jari 5, yang sesuai dengan informasi translasi.