Tentukan daerah asal dan daerah hasil dari fungsi g(x) =

Daerah Asal: x ≠ ±1. Daerah Hasil: y ≤ 0 atau y > 4.

Pembahasan

Untuk menentukan daerah asal (domain) dan daerah hasil (range) dari fungsi g(x) = 4x^2 / (x^2 - 1), kita perlu menganalisis nilai-nilai x yang membuat fungsi terdefinisi dan nilai-nilai g(x) yang mungkin dihasilkan.

Daerah Asal (Domain):
Fungsi akan terdefinisi selama penyebutnya tidak sama dengan nol. Jadi, kita perlu mencari nilai x yang membuat x^2 - 1 = 0.
x^2 - 1 = 0
x^2 = 1
x = 1 atau x = -1
Oleh karena itu, daerah asal fungsi adalah semua bilangan real kecuali 1 dan -1. Dalam notasi himpunan, D(g) = {x | x ∈ ℝ, x ≠ 1, x ≠ -1}.

Daerah Hasil (Range):
Misalkan y = g(x), maka y = 4x^2 / (x^2 - 1).
Kita perlu mencari nilai y yang mungkin.
y(x^2 - 1) = 4x^2
yx^2 - y = 4x^2
yx^2 - 4x^2 = y
x^2(y - 4) = y
x^2 = y / (y - 4)
Agar x riil, maka x^2 harus ≥ 0.
y / (y - 4) ≥ 0
Ini terjadi ketika y ≥ 0 dan y - 4 > 0 (y > 4), atau y ≤ 0 dan y - 4 < 0 (y < 4).
Jika y > 4, maka y / (y - 4) > 0.
Jika y ≤ 0, maka y / (y - 4) > 0.
Jadi, y ≤ 0 atau y > 4.
Selain itu, kita perlu memastikan bahwa y ≠ 4, karena jika y = 4, maka penyebutnya akan menjadi nol.
Oleh karena itu, daerah hasil fungsi adalah {y | y ≤ 0 atau y > 4}.