Tentukan diferensial setiap fungsi berikut.a. y=(9x)/(x^2-5

Menggunakan aturan hasil bagi, turunan untuk a adalah $\frac{9(8 - x^2)}{(x^2 - 5x + 8)^2}$ dan untuk b adalah $\frac{4x^2 + 42x + 3}{(7x^2 + x)^2}$.

Pembahasan

Untuk menentukan diferensial (turunan) dari fungsi-fungsi yang diberikan:

a. $y = \frac{9x}{x^2 - 5x + 8}$
Kita gunakan aturan hasil bagi (quotient rule), yang menyatakan bahwa jika $y = \frac{u}{v}$, maka $y' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
Misalkan $u = 9x$ dan $v = x^2 - 5x + 8$.
Maka $u' = 9$ dan $v' = 2x - 5$.
Menerapkan aturan hasil bagi:
$y' = \frac{9(x^2 - 5x + 8) - (9x)(2x - 5)}{(x^2 - 5x + 8)^2}$
$y' = \frac{9x^2 - 45x + 72 - (18x^2 - 45x)}{(x^2 - 5x + 8)^2}$
$y' = \frac{9x^2 - 45x + 72 - 18x^2 + 45x}{(x^2 - 5x + 8)^2}$
$y' = \frac{-9x^2 + 72}{(x^2 - 5x + 8)^2}$
$y' = \frac{9(8 - x^2)}{(x^2 - 5x + 8)^2}$

b. $y = \frac{4x^3 - 3x}{7x^3 + x^2}$
Kita gunakan aturan hasil bagi lagi. Misalkan $u = 4x^3 - 3x$ dan $v = 7x^3 + x^2$.
Maka $u' = 12x^2 - 3$ dan $v' = 21x^2 + 2x$.
Menerapkan aturan hasil bagi:
$y' = \frac{(12x^2 - 3)(7x^3 + x^2) - (4x^3 - 3x)(21x^2 + 2x)}{(7x^3 + x^2)^2}$
Mari kita ekspansi pembilangnya:
$(12x^2 - 3)(7x^3 + x^2) = 84x^5 + 12x^4 - 21x^3 - 3x^2$
$(4x^3 - 3x)(21x^2 + 2x) = 84x^5 + 8x^4 - 63x^3 - 6x^2$
Sekarang kurangkan:
$(84x^5 + 12x^4 - 21x^3 - 3x^2) - (84x^5 + 8x^4 - 63x^3 - 6x^2)$
$= 84x^5 + 12x^4 - 21x^3 - 3x^2 - 84x^5 - 8x^4 + 63x^3 + 6x^2$
$= (84x^5 - 84x^5) + (12x^4 - 8x^4) + (-21x^3 + 63x^3) + (-3x^2 + 6x^2)$
$= 4x^4 + 42x^3 + 3x^2$
Sekarang masukkan kembali ke dalam rumus turunan:
$y' = \frac{4x^4 + 42x^3 + 3x^2}{(7x^3 + x^2)^2}$
Kita bisa memfaktorkan $x^2$ dari pembilang dan penyebut:
Pembilang: $x^2(4x^2 + 42x + 3)$
Penyebut: $(x(7x^2 + x))^2 = x^2(7x^2 + x)^2$
$y' = \frac{x^2(4x^2 + 42x + 3)}{x^2(7x^2 + x)^2}$
$y' = \frac{4x^2 + 42x + 3}{(7x^2 + x)^2}$