Tentukan digit terakhir dari

Digit terakhirnya adalah 3.

Pembahasan

Untuk menentukan digit terakhir dari 2012^2011^2010^2009+2013^2012^2011^2010+2014^2013^2012^2011+2014^2014^2013^2002, kita perlu menganalisis digit terakhir dari setiap suku.

1. Digit terakhir dari 2012^2011^2010^2009:
   Digit terakhir dari basis adalah 2. Perhatikan siklus digit terakhir perpangkatan 2: 2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6, ... Siklusnya adalah 4.
   Kita perlu menentukan hasil dari 2011^2010^2009 modulo 4.
   2011 mod 4 = 3.
   2010 mod 4 = 2.
   Karena 2010 adalah bilangan genap, maka 2011^2010 akan habis dibagi 4 jika basisnya habis dibagi 4 atau jika basisnya adalah bilangan ganjil dan pangkatnya adalah bilangan genap yang lebih besar atau sama dengan 2. Dalam kasus ini, 2011 adalah bilangan ganjil, dan 2010 adalah bilangan genap.
   Perhatikan pola 2011^n mod 4:
   2011^1 mod 4 = 3
   2011^2 mod 4 = 3^2 mod 4 = 9 mod 4 = 1
   2011^3 mod 4 = 3^3 mod 4 = 27 mod 4 = 3
   Pola berulang setiap 2.
   Karena 2010 adalah bilangan genap, maka 2011^2010 mod 4 = 1.
   Jadi, 2012^(2011^2010^2009) memiliki digit terakhir yang sama dengan 2^(1) = 2.

2. Digit terakhir dari 2013^2012^2011^2010:
   Digit terakhir dari basis adalah 3. Perhatikan siklus digit terakhir perpangkatan 3: 3, 9, 7, 1, 3, 9, 7, 1, ... Siklusnya adalah 4.
   Kita perlu menentukan hasil dari 2012^2011^2010 modulo 4.
   2012 habis dibagi 4 (2012 mod 4 = 0).
   Karena basis perpangkatan (2011^2010) habis dibagi 4, maka hasil perpangkatannya akan memiliki digit terakhir yang sama dengan 3^4 = 81, yaitu 1.
   Jadi, 2013^(2012^2011^2010) memiliki digit terakhir 1.

3. Digit terakhir dari 2014^2013^2012^2011:
   Digit terakhir dari basis adalah 4. Perhatikan siklus digit terakhir perpangkatan 4: 4, 6, 4, 6, ... Siklusnya adalah 2.
   Kita perlu menentukan hasil dari 2013^2012^2011 modulo 2.
   2013 mod 2 = 1.
   Karena basis perpangkatan (2013) adalah bilangan ganjil, maka 2013 pangkat berapapun akan menghasilkan bilangan ganjil. 2013^2012^2011 adalah bilangan ganjil.
   Jika pangkatnya ganjil, digit terakhir adalah 4. Jika pangkatnya genap, digit terakhir adalah 6.
   2012^2011 adalah bilangan genap.
   Jadi, 2014^(2013^2012^2011) memiliki digit terakhir 6.

4. Digit terakhir dari 2014^2014^2013^2002:
   Digit terakhir dari basis adalah 4. Siklusnya adalah 2 (4, 6).
   Kita perlu menentukan hasil dari 2014^2013^2002 modulo 2.
   2014 mod 2 = 0.
   Karena basis perpangkatan (2014) adalah bilangan genap, maka 2014 pangkat berapapun akan menghasilkan bilangan genap.
   Jika pangkatnya ganjil, digit terakhir adalah 4. Jika pangkatnya genap, digit terakhir adalah 6.
   2013^2002 adalah bilangan ganjil (karena 2002 adalah genap, dan 2013 pangkat genap hasilnya ganjil).
   Jadi, 2014^(2014^2013^2002) memiliki digit terakhir 4.

Jumlah digit terakhir:
2 + 1 + 6 + 4 = 13.

Digit terakhir dari jumlah tersebut adalah 3.

Jawaban ringkas: Digit terakhir dari 2012^2011^2010^2009 adalah 2. Digit terakhir dari 2013^2012^2011^2010 adalah 1. Digit terakhir dari 2014^2013^2012^2011 adalah 6. Digit terakhir dari 2014^2014^2013^2002 adalah 4. Jumlah digit terakhirnya adalah 2+1+6+4 = 13. Maka digit terakhir dari keseluruhan penjumlahan adalah 3.