Tentukan formula untuk Un dari barisan berikut ini. a.

a. Un = (2n + 1)^(1/(2n)), b. Un = 6 + √3 - 4n

Pembahasan

Untuk menentukan formula Un dari barisan yang diberikan:

a. Barisan: √3, 5^(1/4), 7^(1/6), ...

Mari kita analisis pola pada setiap komponen:
- Suku pertama: √3 = 3^(1/2)
- Suku kedua: 5^(1/4)
- Suku ketiga: 7^(1/6)

Perhatikan basisnya: 3, 5, 7. Ini adalah barisan aritmetika dengan suku pertama 3 dan beda 2. Formula suku ke-n untuk basis adalah: a_n = 3 + (n-1)2 = 3 + 2n - 2 = 2n + 1.

Perhatikan eksponennya: 1/2, 1/4, 1/6. Ini adalah barisan aritmetika dengan suku pertama 1/2 dan beda -1/4 (atau bisa juga dilihat sebagai kebalikan dari barisan aritmetika 2, 4, 6). Formula suku ke-n untuk eksponen adalah: e_n = 1/2 + (n-1)(-1/4) = 1/2 - 1/4 n + 1/4 = 3/4 - 1/4 n = (3-n)/4. Namun, jika kita melihatnya sebagai kebalikan dari barisan 2, 4, 6, maka pola eksponennya adalah 1/(2n).

Mari kita uji pola eksponen 1/(2n):
Untuk n=1: 1/(2*1) = 1/2. Sesuai dengan √3 = 3^(1/2).
Untuk n=2: 1/(2*2) = 1/4. Sesuai dengan 5^(1/4).
Untuk n=3: 1/(2*3) = 1/6. Sesuai dengan 7^(1/6).

Jadi, formula Un adalah (2n + 1)^(1/(2n)).

b. Barisan: 2 + √3, √3 - 2, √3 - 6, ...

Perhatikan suku-sukunya:
- Suku pertama: 2 + √3
- Suku kedua: √3 - 2
- Suku ketiga: √3 - 6

Mari kita cari beda antar suku:
Beda 1 (U2 - U1): (√3 - 2) - (2 + √3) = √3 - 2 - 2 - √3 = -4.
Beda 2 (U3 - U2): (√3 - 6) - (√3 - 2) = √3 - 6 - √3 + 2 = -4.

Ini adalah barisan aritmetika dengan beda (d) = -4.
Suku pertama (a) = 2 + √3.

Formula umum suku ke-n barisan aritmetika adalah Un = a + (n-1)d.
Substitusikan nilai a dan d:
Un = (2 + √3) + (n-1)(-4)
Un = 2 + √3 - 4n + 4
Un = 6 + √3 - 4n