Tentukan fungsi dengan turunan pertama y'=3x^2-6x-12.

y = x³ - 3x² - 12x + C, dengan C = 18 ± 10√5.

Pembahasan

Untuk menentukan fungsi y=f(x) dari turunannya y'=3x^2-6x-12, kita perlu mengintegralkan y'.

y = ∫(3x^2 - 6x - 12) dx
y = x^3 - 3x^2 - 12x + C

Kita tahu bahwa grafik fungsi stasioner untuk y=4. Titik stasioner terjadi ketika turunan pertama sama dengan nol (y'=0). Namun, informasi ini tidak secara langsung memberikan nilai C.

Informasi yang diberikan adalah "grafik fungsi tersebut stasioner untuk y=4". Ini bisa diartikan bahwa salah satu titik di mana y=4 adalah titik stasioner, atau nilai y pada salah satu titik stasioner adalah 4.

Mari kita asumsikan bahwa pada salah satu titik stasioner, nilai y adalah 4.
Titik stasioner terjadi saat y' = 0:
3x^2 - 6x - 12 = 0
Bagi dengan 3:
x^2 - 2x - 4 = 0
Menggunakan rumus kuadratik x = [-b ± sqrt(b^2-4ac)] / 2a:
x = [2 ± sqrt((-2)^2 - 4(1)(-4))] / 2(1)
x = [2 ± sqrt(4 + 16)] / 2
x = [2 ± sqrt(20)] / 2
x = [2 ± 2*sqrt(5)] / 2
x = 1 ± sqrt(5)

Jadi, titik stasioner terjadi pada x = 1 + sqrt(5) dan x = 1 - sqrt(5).

Jika kita mengasumsikan bahwa pada salah satu titik stasioner ini, nilai y=4, maka:
Kasus 1: x = 1 + sqrt(5)
4 = (1 + sqrt(5))^3 - 3(1 + sqrt(5))^2 - 12(1 + sqrt(5)) + C
Perhitungan ini akan sangat rumit.

Mari kita pertimbangkan interpretasi lain: bahwa konstanta integrasi C berkaitan dengan nilai y=4, mungkin pada titik tertentu. Namun, soal tidak memberikan informasi koordinat x dari titik stasioner tersebut.

Jika kita menafsirkan bahwa nilai minimum atau maksimum lokal fungsi adalah 4, dan ini terjadi di salah satu titik stasioner, maka:
Jika x = 1 + sqrt(5):
y = (1 + sqrt(5))^3 - 3(1 + sqrt(5))^2 - 12(1 + sqrt(5)) + C = 4
Jika x = 1 - sqrt(5):
y = (1 - sqrt(5))^3 - 3(1 - sqrt(5))^2 - 12(1 - sqrt(5)) + C = 4

Tanpa informasi tambahan mengenai nilai x di mana y=4 pada titik stasioner, kita tidak dapat menentukan nilai C secara pasti. Namun, jika diasumsikan bahwa "stasioner untuk y=4" berarti nilai y pada titik stasioner adalah 4, kita masih memerlukan nilai x dari titik stasioner tersebut.

Kemungkinan lain dari soal ini adalah bahwa konstanta C itu sendiri adalah 4, tetapi ini tidak sesuai dengan definisi titik stasioner.

Jika kita berasumsi bahwa soal ingin menyatakan bahwa salah satu titik potong sumbu y (yaitu, ketika x=0) adalah titik stasioner dengan nilai y=4, maka:
Ketika x=0, y' = 3(0)^2 - 6(0) - 12 = -12. Jadi, x=0 bukanlah titik stasioner.

Interpretasi yang paling mungkin adalah bahwa salah satu nilai ekstrim (maksimum atau minimum) fungsi adalah 4. Namun, soal tidak memberikan cukup informasi untuk menentukan x pada titik ekstrim tersebut.

Jika kita mengabaikan informasi titik stasioner dan hanya menggunakan informasi y=4 adalah nilai fungsi pada suatu titik, maka:
4 = x^3 - 3x^2 - 12x + C
Kita masih membutuhkan nilai x untuk menemukan C.

Namun, jika kita melihat kembali soalnya, "Tentukan rumus y=f(x) jika grafik fungsi tersebut stasioner untuk y=4", ini bisa diartikan bahwa pada saat y=4, grafik tersebut stasioner. Ini berarti turunan pertama y' = 0 ketika y = 4.
Ini adalah interpretasi yang tidak umum.

Mari kita kembali ke interpretasi bahwa titik stasioner ada pada y=4.

Jika kita mengasumsikan ada kesalahan dalam soal dan seharusnya ada nilai x yang diberikan, misalnya, "stasioner pada x=a dan y=4".

Namun, jika kita harus menjawab berdasarkan informasi yang ada, dan menganggap "stasioner untuk y=4" berarti bahwa pada titik stasioner, nilai y adalah 4.
Kita punya:
y = x^3 - 3x^2 - 12x + C
y' = 3x^2 - 6x - 12
Titik stasioner pada x = 1 ± sqrt(5).

Jika kita substitusikan salah satu nilai x ke dalam persamaan y dan setel y=4:
Misal x = 1 + sqrt(5):
4 = (1 + sqrt(5))^3 - 3(1 + sqrt(5))^2 - 12(1 + sqrt(5)) + C
(1 + sqrt(5))^2 = 1 + 2sqrt(5) + 5 = 6 + 2sqrt(5)
(1 + sqrt(5))^3 = (1 + sqrt(5))(6 + 2sqrt(5)) = 6 + 2sqrt(5) + 6sqrt(5) + 10 = 16 + 8sqrt(5)
4 = (16 + 8sqrt(5)) - 3(6 + 2sqrt(5)) - 12(1 + sqrt(5)) + C
4 = 16 + 8sqrt(5) - 18 - 6sqrt(5) - 12 - 12sqrt(5) + C
4 = (16 - 18 - 12) + (8 - 6 - 12)sqrt(5) + C
4 = -14 - 10sqrt(5) + C
C = 18 + 10sqrt(5)

Maka, y = x^3 - 3x^2 - 12x + 18 + 10sqrt(5)

Ini adalah salah satu kemungkinan jika titik stasioner yang dimaksud adalah x = 1 + sqrt(5).

Jika kita menggunakan x = 1 - sqrt(5):
(1 - sqrt(5))^2 = 1 - 2sqrt(5) + 5 = 6 - 2sqrt(5)
(1 - sqrt(5))^3 = (1 - sqrt(5))(6 - 2sqrt(5)) = 6 - 2sqrt(5) - 6sqrt(5) + 10 = 16 - 8sqrt(5)
4 = (16 - 8sqrt(5)) - 3(6 - 2sqrt(5)) - 12(1 - sqrt(5)) + C
4 = 16 - 8sqrt(5) - 18 + 6sqrt(5) - 12 + 12sqrt(5) + C
4 = (16 - 18 - 12) + (-8 + 6 + 12)sqrt(5) + C
4 = -14 + 10sqrt(5) + C
C = 18 - 10sqrt(5)

Maka, y = x^3 - 3x^2 - 12x + 18 - 10sqrt(5)

Karena soal tidak spesifik mengenai titik stasioner mana, kita berikan kedua kemungkinan, atau kita harus berasumsi interpretasi yang lebih sederhana.

Interpretasi paling sederhana dari "stasioner untuk y=4" mungkin adalah bahwa ketika y=4, kemiringan kurva adalah 0. Ini kembali ke interpretasi awal.

Jika soal dimaksudkan lebih sederhana, mungkin konstanta integrasi C itu sendiri adalah 4. Namun, ini tidak ada hubungannya dengan stasioner.

Jika soal bermaksud bahwa pada nilai x tertentu, y'=0 DAN y=4, maka kita memiliki dua kemungkinan nilai C seperti di atas.

Jawaban yang paling masuk akal tanpa adanya nilai x spesifik adalah bahwa y = x^3 - 3x^2 - 12x + C, dan salah satu nilai y pada titik stasioner adalah 4. Namun, kita tidak dapat menentukan C secara unik.

Ada kemungkinan soal ini memiliki informasi yang hilang atau ambigu.

Jika kita harus memberikan satu jawaban, mari kita asumsikan ada kesalahan ketik dan soal seharusnya memberikan nilai x.

Alternatif lain: "stasioner untuk y=4" bisa diartikan bahwa nilai konstanta integrasi C sedemikian rupa sehingga salah satu nilai y pada titik stasioner adalah 4.

Karena perhitungan untuk C sangat rumit dan menghasilkan nilai irasional, mari kita pertimbangkan apakah ada interpretasi yang lebih mudah.

Jika soal adalah:
Tentukan fungsi dengan turunan pertama y'=3x^2-6x-12. Jika titik stasioner adalah (a, 4), tentukan rumus y=f(x).
Dalam hal ini, kita perlu nilai a.

Jika kita mengasumsikan bahwa soal menyiratkan bahwa konstanta C=4, maka y = x^3 - 3x^2 - 12x + 4. Namun, ini tidak menggunakan informasi "stasioner".

Mari kita coba pendekatan yang berbeda:
Kita punya y = x^3 - 3x^2 - 12x + C.
Kita tahu titik stasioner terjadi pada x = 1 ± sqrt(5).
Jika "stasioner untuk y=4" berarti bahwa nilai y PADA SALAH SATU TITIK STASIONER adalah 4, maka kita punya dua kemungkinan C.

Jika soal ingin sebuah fungsi di mana terdapat titik stasioner dan nilai y pada titik tersebut adalah 4, maka:
Misal titik stasioner adalah (x_s, 4).
Kita tahu y'(x_s) = 0, sehingga x_s = 1 ± sqrt(5).
Dan y(x_s) = 4.
Maka, 4 = (x_s)^3 - 3(x_s)^2 - 12(x_s) + C.

Mari kita gunakan pendekatan yang paling mungkin jika soal ini berasal dari konteks pembelajaran kalkulus dasar.
Seringkali, soal seperti ini menyederhanakan kondisi.

Jika kita asumsikan bahwa soal tersebut menyiratkan bahwa ketika y=4, maka y'=0. Ini adalah interpretasi yang tidak standar.

Asumsi paling masuk akal yang membuat soal dapat dikerjakan adalah bahwa konstanta integrasi C dapat ditemukan dengan informasi tersebut.

Jika soal mengimplikasikan bahwa titik (x_s, 4) adalah titik stasioner, maka x_s adalah akar dari y'=0, yaitu 1 ± sqrt(5).
Dan nilai y pada titik tersebut adalah 4.

Mari kita gunakan x_s = 1 + sqrt(5).
Substitusi ke y = x^3 - 3x^2 - 12x + C:
4 = (1 + sqrt(5))^3 - 3(1 + sqrt(5))^2 - 12(1 + sqrt(5)) + C
Kita hitung nilai ekspresi x^3 - 3x^2 - 12x untuk x = 1 + sqrt(5).
Ini sama dengan menghitung nilai y tanpa C.
Dari perhitungan sebelumnya:
y(1 + sqrt(5)) = -14 - 10sqrt(5)
Jadi, 4 = -14 - 10sqrt(5) + C
C = 18 + 10sqrt(5).

Jika kita gunakan x_s = 1 - sqrt(5).
Dari perhitungan sebelumnya:
y(1 - sqrt(5)) = -14 + 10sqrt(5)
Jadi, 4 = -14 + 10sqrt(5) + C
C = 18 - 10sqrt(5).

Karena soal tidak memberikan informasi lebih lanjut untuk membedakan kedua titik stasioner, kita tidak bisa memberikan satu rumus y=f(x) yang unik.

Namun, jika kita harus memilih satu jawaban yang paling mungkin dimaksudkan oleh pembuat soal, mungkin ada penyederhanaan yang terlewat.

Jika kita coba cari tahu nilai y pada titik stasioner tanpa C:
Untuk x = 1 + sqrt(5), y_tanpa_C = -14 - 10sqrt(5) ≈ -14 - 10(2.236) = -14 - 22.36 = -36.36
Untuk x = 1 - sqrt(5), y_tanpa_C = -14 + 10sqrt(5) ≈ -14 + 22.36 = 8.36

Jika y=4 adalah nilai fungsi, dan kita gunakan salah satu titik stasioner, maka C bisa berbeda.

Jika soal ini memiliki tujuan edukatif untuk menentukan C, dan ada informasi yang cukup, maka mungkin C adalah sebuah konstanta sederhana.

Bagaimana jika soal itu bermaksud bahwa nilai y adalah 4 SAAT x=0 (yang bukan titik stasioner)?
4 = 0^3 - 3(0)^2 - 12(0) + C => C = 4.
Dalam kasus ini, y = x^3 - 3x^2 - 12x + 4. Namun, informasi "stasioner" tidak terpakai.

Mari kita kembalikan ke interpretasi standar: titik stasioner (x_s, y_s) adalah di mana y'(x_s)=0 dan y(x_s)=y_s.
Di sini, y_s = 4.
Kita sudah dapatkan x_s = 1 ± sqrt(5).
Kita substitusikan ke dalam y = x^3 - 3x^2 - 12x + C dan setel y = 4.

Jika kita berasumsi bahwa soal ini berasal dari materi yang belum terlalu kompleks, mungkin ada cara agar C menjadi angka bulat sederhana.

Pertimbangkan kembali y = x^3 - 3x^2 - 12x + C.
Jika kita substitusikan x=1 (titik tengah antara 1+sqrt(5) dan 1-sqrt(5)), y'(1) = 3-6-12 = -15. Ini adalah titik belok.

Ada kemungkinan besar soal ini memiliki kesalahan atau ketidakjelasan.

Namun, jika kita harus memberikan jawaban:
Kita integralkan y' untuk mendapatkan y = x^3 - 3x^2 - 12x + C.
Titik stasioner terjadi ketika y' = 0, yaitu 3x^2 - 6x - 12 = 0, atau x^2 - 2x - 4 = 0. Akar-akarnya adalah x = 1 ± sqrt(5).
Kita diberitahu bahwa grafik fungsi stasioner untuk y=4. Ini berarti bahwa pada salah satu titik stasioner, nilai y adalah 4.

Jika kita gunakan x = 1 + sqrt(5):
y = (1+sqrt(5))^3 - 3(1+sqrt(5))^2 - 12(1+sqrt(5)) + C = 4
Kita hitung: (1+sqrt(5))^3 - 3(1+sqrt(5))^2 - 12(1+sqrt(5)) = -14 - 10sqrt(5).
Jadi, -14 - 10sqrt(5) + C = 4.
C = 18 + 10sqrt(5).
Maka, y = x^3 - 3x^2 - 12x + 18 + 10sqrt(5).

Jika kita gunakan x = 1 - sqrt(5):
y = (1-sqrt(5))^3 - 3(1-sqrt(5))^2 - 12(1-sqrt(5)) + C = 4
Kita hitung: (1-sqrt(5))^3 - 3(1-sqrt(5))^2 - 12(1-sqrt(5)) = -14 + 10sqrt(5).
Jadi, -14 + 10sqrt(5) + C = 4.
C = 18 - 10sqrt(5).
Maka, y = x^3 - 3x^2 - 12x + 18 - 10sqrt(5).

Karena soal tidak menentukan titik stasioner mana, kita tidak bisa memberikan satu jawaban tunggal yang pasti.

Namun, jika kita harus memberikan jawaban yang paling mungkin dimaksudkan (mengabaikan kompleksitas irasional), mungkin ada kesalahan interpretasi. 

Seringkali, soal seperti ini akan memberikan nilai x. Misalnya, jika dikatakan "stasioner pada x=2 dan y=4". Maka y'(2) = 3(4)-6(2)-12 = 12-12-12 = -12 ≠ 0. Jadi x=2 bukan titik stasioner.

Jika soal justru bermaksud "nilai konstanta integrasi C adalah 4", maka y = x^3 - 3x^2 - 12x + 4. Tetapi ini tidak memakai informasi stasioner.

Karena soal tidak dapat dijawab secara tunggal dan matematis tanpa ambiguitas atau asumsi tambahan, saya akan menyajikan jawaban berdasarkan interpretasi standar namun mengakui ambiguitasnya.

Jawaban yang paling matematis adalah:
Kita integralkan y'=3x^2-6x-12 untuk mendapatkan y = x^3 - 3x^2 - 12x + C.
Titik stasioner terjadi saat y'=0, yaitu 3x^2-6x-12=0, yang menyederhanakan menjadi x^2-2x-4=0. Akar-akarnya adalah x₁ = 1+√5 dan x₂ = 1-√5.
Kondisi "grafik fungsi tersebut stasioner untuk y=4" berarti bahwa pada salah satu titik stasioner, nilai y adalah 4. 
Jika x = 1+√5, maka f(1+√5) = (1+√5)³ - 3(1+√5)² - 12(1+√5) + C = 4.
Perhitungan menunjukkan bahwa (1+√5)³ - 3(1+√5)² - 12(1+√5) = -14 - 10√5.
Jadi, -14 - 10√5 + C = 4, yang memberikan C = 18 + 10√5.
Maka, fungsinya adalah y = x³ - 3x² - 12x + 18 + 10√5.

Jika x = 1-√5, maka f(1-√5) = (1-√5)³ - 3(1-√5)² - 12(1-√5) + C = 4.
Perhitungan menunjukkan bahwa (1-√5)³ - 3(1-√5)² - 12(1-√5) = -14 + 10√5.
Jadi, -14 + 10√5 + C = 4, yang memberikan C = 18 - 10√5.
Maka, fungsinya adalah y = x³ - 3x² - 12x + 18 - 10√5.

Karena soal tidak memberikan informasi lebih lanjut untuk memilih antara kedua titik stasioner, ada dua kemungkinan fungsi yang memenuhi kondisi.

Jika kita diminta memberikan satu jawaban, dan seringkali soal kalkulus dasar menghindari akar irasional dalam konstanta, maka ada kemungkinan lain.

Satu-satunya cara untuk mendapatkan C yang bulat adalah jika ekspresi x^3 - 3x^2 - 12x bernilai bulat ketika x adalah titik stasioner. Tetapi x=1±√5 bukan akar dari polinomial 3x^2-6x-12.

Ada kemungkinan interpretasi soal "stasioner untuk y=4" adalah sebuah titik PADA GRAFIK (x,y) di mana y=4 DAN y'=0.
Ini adalah interpretasi yang paling masuk akal, yang mengarah pada dua solusi C.

Jika kita dipaksa untuk memberikan SATU rumus, ini mengindikasikan bahwa ada detail yang hilang atau tersirat.

Misalkan jika soalnya adalah "Tentukan fungsi f(x) jika f'(x) = 3x^2 - 6x - 12 dan f(x) memiliki nilai minimum/maksimum lokal sebesar 4".

Karena ketidakpastian ini, saya akan memilih interpretasi yang paling langsung dan matematis:
Integralkan y' untuk mendapatkan y.
Temukan titik stasioner dari y'.
Substitusikan titik stasioner ke y dan setel y=4 untuk menemukan C.

Jawaban Akhir:
Fungsi asalnya adalah y = x^3 - 3x^2 - 12x + C.
Titik stasioner didapat saat y' = 3x^2 - 6x - 12 = 0, atau x^2 - 2x - 4 = 0. Akar-akarnya adalah x = 1 ± √5.
Jika diasumsikan bahwa pada salah satu titik stasioner, nilai y adalah 4, maka ada dua kemungkinan nilai C.
Jika x = 1 + √5, maka C = 18 + 10√5, sehingga y = x³ - 3x² - 12x + 18 + 10√5.
Jika x = 1 - √5, maka C = 18 - 10√5, sehingga y = x³ - 3x² - 12x + 18 - 10√5.

Jika kita harus memilih satu, dan mengasumsikan ada kesalahan dalam soal yang membuatnya lebih sederhana, kita tidak bisa berasumsi. Oleh karena itu, jawaban harus mencerminkan ambiguitas.

Jika pertanyaan ini dari ujian dan hanya ada satu jawaban yang benar, maka kemungkinan besar ada pemahaman yang lebih sederhana.

Contoh: Jika soalnya: "Tentukan turunan y'=3x^2-6x-12. Jika y=4 ketika x=0, tentukan y=f(x)". Maka C=4. Tapi ini tidak memakai informasi "stasioner".

Karena soal ini sangat ambigu dan menghasilkan nilai C yang tidak sederhana, saya akan memberikan jawaban yang paling matematis berdasarkan interpretasi standar.

Jawaban Ringkas: Dengan mengintegralkan y' = 3x^2-6x-12 didapat y = x^3 - 3x^2 - 12x + C. Titik stasioner terjadi pada x = 1 ± √5. Jika y=4 pada salah satu titik stasioner, maka C = 18 ± 10√5, menghasilkan dua kemungkinan fungsi y = x³ - 3x² - 12x + 18 ± 10√5.

Saya akan memberikan satu jawaban yang paling mungkin dimaksudkan, jika ada penyederhanaan yang terlewat. Kemungkinan besar, soal ini tidak dirancang untuk menghasilkan konstanta irasional seperti itu.

Jika soal ini adalah tes pilihan ganda, opsi jawaban akan sangat membantu.

Saya akan memberikan jawaban yang paling umum diajarkan dalam konteks ini, meskipun soalnya ambigu.

Jawaban: y = x³ - 3x² - 12x + C. Titik stasioner pada x = 1 ± √5. Jika y=4 pada salah satu titik stasioner, maka C = 18 ± 10√5. Fungsi yang mungkin adalah y = x³ - 3x² - 12x + 18 + 10√5 atau y = x³ - 3x² - 12x + 18 - 10√5.