Tentukan fungsi invers berikut ini dan tentukan pula daerah

a. f^-1(x) = sqrt(16-x^2), Domain: [-4,0] (dengan asumsi domain f(x)=[0,4]). b. f^-1(x) = 2/x, Domain: x ≠ 0.

Pembahasan

Untuk menentukan fungsi invers dan daerah asalnya dari fungsi yang diberikan:

**a. f(x) = -(16 - x^2)^1/2, |x| ≤ 4**

1.  **Mencari fungsi invers (f^-1(x)):**
    Misalkan y = f(x)
    y = -(16 - x^2)^1/2
    Kuadratkan kedua sisi:
    y^2 = 16 - x^2
    Pindahkan x^2 ke kiri dan y^2 ke kanan:
    x^2 = 16 - y^2
    Ambil akar kuadrat kedua sisi:
    x = ±√(16 - y^2)
    Karena pada soal diberikan |x| ≤ 4, yang berarti x bisa positif atau negatif, kita perlu memperhatikan domain saat mencari invers.
    Namun, jika kita melihat bentuk awal f(x) = -(16 - x^2)^1/2, nilai y selalu non-positif (karena ada tanda negatif di depan akar kuadrat dan akar kuadrat selalu non-negatif). Jadi, y ≤ 0.
    Dari x = ±√(16 - y^2), kita harus memilih tanda yang sesuai.
    Jika kita meninjau kembali domain f(x) yaitu |x| ≤ 4, ini mencakup x positif dan negatif. Mari kita periksa hubungan antara x dan y.
    Karena y = -(16 - x^2)^1/2, maka y ≤ 0.
    Jika kita ingin mencari x dalam bentuk y, kita punya x^2 = 16 - y^2.
    Jadi, x = ±√(16 - y^2).
    Agar y memiliki invers yang unik, fungsi aslinya harus satu-satu (injektif). Fungsi f(x) = -(16 - x^2)^1/2 tidak injektif pada domain |x| ≤ 4 karena misalnya f(2) = -(16-4)^1/2 = -√12 dan f(-2) = -(16-4)^1/2 = -√12.
    Untuk membuat fungsi menjadi injektif, kita perlu membatasi domainnya lebih lanjut, misalnya menjadi 0 ≤ x ≤ 4 atau -4 ≤ x ≤ 0.
    Jika kita asumsikan domainnya adalah 0 ≤ x ≤ 4, maka x = √(16 - y^2). Fungsi inversnya adalah f^-1(y) = √(16 - y^2), atau f^-1(x) = √(16 - x^2).
    Jika kita asumsikan domainnya adalah -4 ≤ x ≤ 0, maka x = -√(16 - y^2). Fungsi inversnya adalah f^-1(y) = -√(16 - y^2), atau f^-1(x) = -√(16 - x^2).
    Tanpa pembatasan domain lebih lanjut, fungsi ini tidak memiliki invers tunggal.
    Namun, jika pertanyaan mengasumsikan kita mencari bentuk aljabarnya:
    Tukar x dan y: x = -(16 - y^2)^1/2
x^2 = 16 - y^2
y^2 = 16 - x^2
y = ±√(16 - x^2)
    Dalam konteks mencari fungsi invers, kita seringkali memilih salah satu cabang. Jika kita melihat kembali y = f(x) ≤ 0, maka inversnya juga harus mengikuti. Namun, cara paling umum adalah menukar x dan y dan menyelesaikan untuk y.
    Mari kita gunakan definisi yang lebih ketat. Fungsi f(x) = -(16 - x^2)^1/2 memiliki range y ∈ [-4, 0].
    Untuk mencari inversnya, kita bisa menukar x dan y: x = -(16 - y^2)^1/2. Kuadratkan kedua sisi: x^2 = 16 - y^2. Maka y^2 = 16 - x^2, sehingga y = ±√(16 - x^2). Karena range asli y adalah [-4, 0], maka daerah asal invers (domain f^-1) adalah [-4, 0]. Dan karena y pada fungsi invers harus merupakan hasil dari pemetaan dari domain asli yang telah dibatasi agar injektif, kita perlu memilih salah satu cabang.
    Jika kita memilih domain f(x) menjadi [0, 4], maka x = √(16-y^2), sehingga f^-1(x) = √(16-x^2) dengan domain [-4, 0] dan range [0, 4].
    Jika kita memilih domain f(x) menjadi [-4, 0], maka x = -√(16-y^2), sehingga f^-1(x) = -√(16-x^2) dengan domain [-4, 0] dan range [-4, 0].
    Karena soal tidakSpecify domain f(x) lebih lanjut selain |x|<=4, mari kita pertimbangkan kedua kemungkinan invers.
    Jika f(x) = -(16-x^2)^1/2 dengan domain [0,4], maka f^-1(x) = sqrt(16-x^2) dengan domain [-4,0].
    Jika f(x) = -(16-x^2)^1/2 dengan domain [-4,0], maka f^-1(x) = -sqrt(16-x^2) dengan domain [-4,0].
    Biasanya, jika tidak ditentukan, kita dapat memilih cabang positif untuk akar kuadrat jika memungkinkan.
    Mari kita gunakan invers f^-1(x) = sqrt(16-x^2) dengan domain [-4, 0].

2.  **Menentukan daerah asal invers (Domain f^-1):**
    Daerah asal dari fungsi invers adalah daerah hasil (range) dari fungsi aslinya.
    Untuk f(x) = -(16 - x^2)^1/2 dengan |x| ≤ 4:
    Nilai minimum x^2 adalah 0 (ketika x=0), sehingga 16 - x^2 = 16. Maka -(16 - x^2)^1/2 = -√16 = -4.
    Nilai maksimum x^2 adalah 16 (ketika x=4 atau x=-4), sehingga 16 - x^2 = 0. Maka -(16 - x^2)^1/2 = -√0 = 0.
    Jadi, daerah hasil f(x) adalah [-4, 0].
    Oleh karena itu, daerah asal dari fungsi inversnya adalah [-4, 0].

    Jika kita memilih f^-1(x) = sqrt(16-x^2), maka daerah asalnya adalah [-4, 0].

**b. f(x) = 2/x, x ≠ 0**

1.  **Mencari fungsi invers (f^-1(x)):**
    Misalkan y = f(x)
    y = 2/x
    Untuk mencari invers, tukar x dan y:
    x = 2/y
    Kalikan kedua sisi dengan y:
    xy = 2
    Bagi kedua sisi dengan x:
    y = 2/x
    Jadi, fungsi inversnya adalah f^-1(x) = 2/x.

2.  **Menentukan daerah asal invers (Domain f^-1):**
    Daerah asal dari fungsi invers adalah daerah hasil (range) dari fungsi aslinya.
    Untuk f(x) = 2/x, x ≠ 0:
    Fungsi ini dapat menghasilkan nilai y berapapun kecuali 0. Jika y = 2/x, maka x = 2/y. Agar x terdefinisi, y tidak boleh nol.
    Jadi, daerah hasil f(x) adalah semua bilangan real kecuali 0 (ℝ - {0}).
    Oleh karena itu, daerah asal dari fungsi inversnya adalah ℝ - {0} atau x ≠ 0.