Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknyaa. menyinggung sumbu

a. f(x) = 1/3(x-3)^2, b. Terdapat dua kemungkinan fungsi kuadrat dengan nilai a = (7 ± sqrt(33))/8.

Pembahasan

a. Karena grafik menyinggung sumbu X di titik (3,0), maka fungsi kuadratnya dapat ditulis dalam bentuk f(x) = a(x-3)^2. Karena grafik melalui titik (0,3), maka f(0) = a(0-3)^2 = 9a = 3, sehingga a = 1/3. Jadi, fungsi kuadratnya adalah f(x) = 1/3(x-3)^2.
b. Misalkan fungsi kuadratnya adalah f(x) = ax^2 + bx + c. Karena melalui titik (-1,0) dan (3,0), maka f(-1) = a - b + c = 0 dan f(3) = 9a + 3b + c = 0. Dengan mengeliminasi c, kita dapatkan 8a + 4b = 0 atau b = -2a. Substitusi b = -2a ke a - b + c = 0, kita dapatkan a - (-2a) + c = 0 atau c = -3a. Jadi, fungsi kuadratnya adalah f(x) = ax^2 - 2ax - 3a. Karena menyinggung garis y = 2x - 7, maka turunan pertama f'(x) = 2ax - 2a harus sama dengan gradien garis y = 2x - 7, yaitu 2. Jadi, 2ax - 2a = 2. Di titik singgung, gradiennya adalah 2. Gradien garis singgung adalah f'(x) = 2ax - 2a. Maka 2ax - 2a = 2. Misalkan titik singgungnya adalah (x0, y0). Maka f'(x0) = 2ax0 - 2a = 2. Selain itu, y0 = f(x0) = ax0^2 - 2ax0 - 3a dan y0 = 2x0 - 7. Sehingga ax0^2 - 2ax0 - 3a = 2x0 - 7. Dari 2ax0 - 2a = 2, kita dapatkan ax0 - a = 1 atau ax0 = a + 1. Substitusi ke persamaan lainnya: x0(a+1) - 2a - 3a = 2x0 - 7 atau x0(a+1) - 5a = 2x0 - 7. x0a + x0 - 5a = 2x0 - 7 atau x0a - x0 - 5a = -7. Karena ax0 = a + 1, maka x0 = (a+1)/a. Substitusi x0: ((a+1)/a)a - ((a+1)/a) - 5a = -7. (a+1) - (a+1)/a - 5a = -7. Kalikan dengan a: a(a+1) - (a+1) - 5a^2 = -7a. a^2 + a - a - 1 - 5a^2 = -7a. -4a^2 - 1 = -7a. 4a^2 - 7a + 1 = 0. Menggunakan rumus kuadratik untuk a: a = [7 ± sqrt((-7)^2 - 4*4*1)] / (2*4) = [7 ± sqrt(49 - 16)] / 8 = [7 ± sqrt(33)] / 8. Jika a = (7 + sqrt(33))/8, maka b = -2a = -(7 + sqrt(33))/4, c = -3a = -3(7 + sqrt(33))/8. Jika a = (7 - sqrt(33))/8, maka b = -2a = -(7 - sqrt(33))/4, c = -3a = -3(7 - sqrt(33))/8. Terdapat dua kemungkinan fungsi kuadrat.