Tentukan hasil bagi dan sisa dengan operasi aljabar

Hasil bagi: $x^2-4x+2$, Sisa: $-x+7$

Pembahasan

Untuk menentukan hasil bagi dan sisa pembagian polinom $x^4-2x^3-7x^2+7x+5$ oleh $x^2+2x-1$ menggunakan metode kesamaan, kita dapat menyatakan:

$x^4-2x^3-7x^2+7x+5 = (x^2+2x-1)(Ax^2+Bx+C) + (Dx+E)$

Karena pembaginya berderajat 2, hasil baginya akan berderajat $4-2=2$. Misalkan hasil baginya adalah $Ax^2+Bx+C$. Sisa pembagian akan berderajat paling tinggi 1, yaitu $Dx+E$. Namun, dalam metode kesamaan, kita bisa langsung melakukan perkalian dan menyamakan koefisiennya.

Mari kita coba mengalikan pembagi dengan hasil bagi yang kita perkirakan, lalu kita sesuaikan sisanya.
Misalkan hasil baginya adalah $x^2+Bx+C$.
$(x^2+2x-1)(x^2+Bx+C) = x^4 + Bx^3 + Cx^2 + 2x^3 + 2Bx^2 + 2Cx - x^2 - Bx - C$
$= x^4 + (B+2)x^3 + (C+2B-1)x^2 + (2C-B)x - C$

Sekarang, kita samakan dengan polinom awal $x^4-2x^3-7x^2+7x+5$.

Menyamakan koefisien $x^3$: $B+2 = -2 
ightarrow B = -4$

Menyamakan koefisien $x^2$: $C+2B-1 = -7$
$C+2(-4)-1 = -7$
$C-8-1 = -7$
$C-9 = -7 
ightarrow C = 2$

Menyamakan koefisien $x$: $2C-B = 7$
$2(2)-(-4) = 4+4 = 8$. Di sini ada ketidakcocokan (seharusnya 7). Ini berarti hasil bagi yang kita asumsikan $(x^2+Bx+C)$ perlu disesuaikan atau ada suku sisa.

Mari kita lakukan pembagian panjang atau substitusi yang lebih cermat.

Atau kita bisa memprediksi hasil bagi sebagai $x^2 + ...$. Koefisien $x^4$ dibagi $x^2$ adalah $x^2$. Maka, kita kalikan $(x^2+2x-1)$ dengan $x^2$.
$x^2(x^2+2x-1) = x^4+2x^3-x^2$.

Kurangkan dari polinom awal:
$(x^4-2x^3-7x^2+7x+5) - (x^4+2x^3-x^2) = -4x^3-6x^2+7x+5$.

Sekarang, kita lihat koefisien $x^3$ dari hasil pengurangan, yaitu $-4x^3$. Bagi dengan koefisien $x^2$ dari pembagi, yaitu $x^2$. Maka kita dapatkan $-4x$.
Kalikan $-4x$ dengan pembagi:
$-4x(x^2+2x-1) = -4x^3-8x^2+4x$.

Kurangkan dari hasil pengurangan sebelumnya:
$(-4x^3-6x^2+7x+5) - (-4x^3-8x^2+4x) = 2x^2+3x+5$.

Sekarang, kita lihat koefisien $x^2$ dari hasil pengurangan, yaitu $2x^2$. Bagi dengan koefisien $x^2$ dari pembagi, yaitu $x^2$. Maka kita dapatkan $2$.
Kalikan $2$ dengan pembagi:
$2(x^2+2x-1) = 2x^2+4x-2$.

Kurangkan dari hasil pengurangan sebelumnya:
$(2x^2+3x+5) - (2x^2+4x-2) = -x+7$.

Karena derajat hasil pengurangan (yaitu $-x+7$) lebih kecil dari derajat pembagi ($x^2+2x-1$), maka $-x+7$ adalah sisa.

Hasil baginya adalah penjumlahan dari suku-suku yang kita kalikan dengan pembagi: $x^2 - 4x + 2$.

Jadi, $x^4-2x^3-7x^2+7x+5 = (x^2+2x-1)(x^2-4x+2) + (-x+7)$.

Jawaban: Hasil bagi adalah $x^2-4x+2$ dan sisanya adalah $-x+7$.