Tentukan hasil dari: a. lim x -> 5 (x^2-7x+10)/(x^2-25) b.

a. 3/10, b. 31/7

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal limit ini, kita akan menggunakan metode substitusi dan faktorisasi jika diperlukan.

a. $\lim_{x \to 5} \frac{x^2-7x+10}{x^2-25}$
Jika kita substitusi $x=5$ langsung, kita akan mendapatkan bentuk $\frac{0}{0}$, yang merupakan bentuk tak tentu. Oleh karena itu, kita perlu memfaktorkan pembilang dan penyebutnya.
Pembilang: $x^2-7x+10 = (x-2)(x-5)$
Penyebut: $x^2-25 = (x-5)(x+5)$

Maka, limitnya menjadi:
$\lim_{x \to 5} \frac{(x-2)(x-5)}{(x-5)(x+5)}$
Kita bisa mencoret faktor $(x-5)$ karena $x \to 5$ berarti $x \neq 5$.
$\lim_{x \to 5} \frac{x-2}{x+5}$
Sekarang substitusikan $x=5$:
$\frac{5-2}{5+5} = \frac{3}{10}$

b. $\lim_{x \to 3} \frac{2x^3-5x^2+7x-30}{x^2+x-12}$
Jika kita substitusi $x=3$, kita akan mendapatkan bentuk $\frac{2(3)^3-5(3)^2+7(3)-30}{(3)^2+3-12} = \frac{2(27)-5(9)+21-30}{9+3-12} = \frac{54-45+21-30}{0} = \frac{0}{0}$. Ini adalah bentuk tak tentu, jadi kita perlu memfaktorkan pembilang atau menggunakan aturan L'Hopital.
Mari kita gunakan aturan L'Hopital karena faktorisasi polinomial derajat tiga bisa rumit.
Aturan L'Hopital menyatakan bahwa jika $\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)}$ menghasilkan $\frac{0}{0}$ atau $\frac{\infty}{\infty}$, maka limitnya sama dengan $\lim_{x \to c} \frac{f'(x)}{g'(x)}$.

Turunan dari pembilang $f(x) = 2x^3-5x^2+7x-30$ adalah $f'(x) = 6x^2-10x+7$.
Turunan dari penyebut $g(x) = x^2+x-12$ adalah $g'(x) = 2x+1$.

Maka, limitnya menjadi:
$\lim_{x \to 3} \frac{6x^2-10x+7}{2x+1}$
Sekarang substitusikan $x=3$:
$\frac{6(3)^2-10(3)+7}{2(3)+1} = \frac{6(9)-30+7}{6+1} = \frac{54-30+7}{7} = \frac{31}{7}$

Jadi, hasil dari:
a. $\lim_{x \to 5} \frac{x^2-7x+10}{x^2-25} = \frac{3}{10}$
b. $\lim_{x \to 3} \frac{2x^3-5x^2+7x-30}{x^2+x-12} = \frac{31}{7}$