Tentukan hasil dari integral dx/akar(9+x^2).

ln |√(x^2 + 9) + x| + C

Pembahasan

Untuk menyelesaikan integral dx/√(9+x^2), kita dapat menggunakan substitusi trigonometri.

Misalkan x = 3 tan(θ), maka dx = 3 sec^2(θ) dθ.
Substitusikan ke dalam integral:
∫ dx / √(9 + x^2) = ∫ (3 sec^2(θ) dθ) / √(9 + (3 tan(θ))^2)
= ∫ (3 sec^2(θ) dθ) / √(9 + 9 tan^2(θ))
= ∫ (3 sec^2(θ) dθ) / √(9(1 + tan^2(θ)))

Kita tahu bahwa 1 + tan^2(θ) = sec^2(θ).
= ∫ (3 sec^2(θ) dθ) / √(9 sec^2(θ))
= ∫ (3 sec^2(θ) dθ) / (3 sec(θ))
= ∫ sec(θ) dθ

Hasil integral dari sec(θ) adalah ln|sec(θ) + tan(θ)| + C.

Sekarang kita perlu mengubah kembali ke dalam bentuk x.
Karena x = 3 tan(θ), maka tan(θ) = x/3.
Kita bisa membuat segitiga siku-siku dengan sisi depan = x, sisi samping = 3. Sisi miringnya adalah √(x^2 + 3^2) = √(x^2 + 9).
Dari segitiga ini, kita dapatkan sec(θ) = sisi miring / sisi samping = √(x^2 + 9) / 3.

Jadi, hasil integralnya adalah:
ln |(√(x^2 + 9))/3 + x/3| + C
= ln |(√(x^2 + 9) + x) / 3| + C
= ln |√(x^2 + 9) + x| - ln|3| + C

Karena ln|3| adalah konstanta, kita bisa menggabungkannya dengan C.

Jawaban: ln |√(x^2 + 9) + x| + C