Tentukan hasil dari soal limit berikut. lim x->0 6xtan

Hasil limit adalah 2/3.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita dapat menggunakan beberapa metode, salah satunya adalah dengan menggunakan aturan L'Hopital karena bentuknya adalah 0/0 saat x mendekati 0.

Limit: lim x->0 [6x * tan(2x)] / [1 - cos(6x)]

Substitusikan x=0: [6*0 * tan(0)] / [1 - cos(0)] = [0 * 0] / [1 - 1] = 0/0. Ini adalah bentuk tak tentu.

Menggunakan Aturan L'Hopital:
Turunkan pembilang dan penyebut secara terpisah terhadap x.

Pembilang: d/dx [6x * tan(2x)]
Menggunakan aturan perkalian: (d/dx(6x)) * tan(2x) + 6x * (d/dx(tan(2x)))
= 6 * tan(2x) + 6x * (sec^2(2x) * 2)
= 6 tan(2x) + 12x sec^2(2x)

Penyebut: d/dx [1 - cos(6x)]
= 0 - (-sin(6x) * 6)
= 6 sin(6x)

Sekarang limitnya menjadi:
lim x->0 [6 tan(2x) + 12x sec^2(2x)] / [6 sin(6x)]

Substitusikan lagi x=0:
[6 tan(0) + 12*0 * sec^2(0)] / [6 sin(0)]
= [6 * 0 + 0 * 1^2] / [6 * 0]
= 0/0. Masih bentuk tak tentu. Gunakan L'Hopital lagi.

Turunkan pembilang dan penyebut sekali lagi:

Pembilang: d/dx [6 tan(2x) + 12x sec^2(2x)]
= d/dx [6 tan(2x)] + d/dx [12x sec^2(2x)]
= 6 * sec^2(2x) * 2 + [d/dx(12x) * sec^2(2x) + 12x * d/dx(sec^2(2x))]
= 12 sec^2(2x) + [12 * sec^2(2x) + 12x * (2 sec(2x) * sec(2x) tan(2x) * 2)]
= 12 sec^2(2x) + 12 sec^2(2x) + 48x sec^2(2x) tan(2x)
= 24 sec^2(2x) + 48x sec^2(2x) tan(2x)

Penyebut: d/dx [6 sin(6x)]
= 6 cos(6x) * 6
= 36 cos(6x)

Sekarang limitnya menjadi:
lim x->0 [24 sec^2(2x) + 48x sec^2(2x) tan(2x)] / [36 cos(6x)]

Substitusikan x=0:
[24 sec^2(0) + 48*0 * sec^2(0) tan(0)] / [36 cos(0)]
= [24 * 1^2 + 0] / [36 * 1]
= 24 / 36
= 2/3

Metode lain menggunakan identitas trigonometri dan limit standar:
lim x->0 sin(x)/x = 1
lim x->0 (1-cos(x))/x^2 = 1/2
lim x->0 tan(x)/x = 1

lim x->0 [6x * tan(2x)] / [1 - cos(6x)]
Kita bisa menulis ulang: tan(2x) = (sin(2x)/cos(2x))
= lim x->0 [6x * sin(2x)] / [cos(2x) * (1 - cos(6x))]

Sekarang kita manipulasi agar sesuai dengan limit standar:
= lim x->0 [6x * (2x/2x) * sin(2x)] / [cos(2x) * (1 - cos(6x))]
= lim x->0 [12x^2 * sin(2x) / (2x)] / [cos(2x) * (1 - cos(6x))]

Untuk bagian (1 - cos(6x)), kita ingin membaginya dengan (6x)^2:
= lim x->0 [12x^2 * sin(2x) / (2x)] / [cos(2x) * (1 - cos(6x)) * (36x^2 / 36x^2)]
= lim x->0 [12x^2 * sin(2x) / (2x)] / [cos(2x) * (1 - cos(6x)) / (36x^2) * 36x^2]

Kita tahu: lim x->0 sin(2x)/(2x) = 1
Kita tahu: lim x->0 (1-cos(6x))/(36x^2) = 1/2

Jadi, limitnya menjadi:
= lim x->0 [12x^2 * 1] / [cos(2x) * (1/2) * 36x^2]
= lim x->0 [12x^2] / [18x^2 * cos(2x)]
= lim x->0 12 / (18 * cos(2x))
= 12 / (18 * cos(0))
= 12 / (18 * 1)
= 12 / 18
= 2/3