Tentukan hasil limit tak kingga fungsi trigonometri berikut

Hasil limitnya adalah 1/3.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal limit tak hingga dari fungsi trigonometri \(\lim_{x \to \infty} \cot(3x^{-1}) \sin(x^{-1})\), kita bisa melakukan substitusi. Misalkan \(y = \frac{1}{x}\). Ketika \(x \to \infty\), maka \(y \to 0\).

Substitusikan \(y\) ke dalam fungsi:
\(\lim_{y \to 0} \cot(3y) \sin(y)\)

Kita tahu bahwa \(\cot(\theta) = \frac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)}\). Jadi, fungsi menjadi:
\(\lim_{y \to 0} \frac{\cos(3y)}{\sin(3y)} \sin(y)\)

Kita juga tahu bahwa untuk \(\theta \to 0\), berlaku \(\sin(\theta) \approx \theta\). Oleh karena itu, \(\sin(3y) \approx 3y\) dan \(\sin(y) \approx y\).

Substitusikan aproksimasi ini:
\(\lim_{y \to 0} \frac{\cos(3y)}{3y} y\)

Sederhanakan \(y\):
\(\lim_{y \to 0} \frac{\cos(3y)}{3}\)

Sekarang, substitusikan \(y = 0\) ke dalam fungsi:
\(\frac{\cos(3 \times 0)}{3} = \frac{\cos(0)}{3} = \frac{1}{3}\)

Jadi, hasil limit tak hingga dari fungsi trigonometri tersebut adalah \(\frac{1}{3}\).