Tentukan hasil setiap integral tak tentu berikut.integral 6

Hasil integralnya adalah \(3x + \frac{9}{2} \sin(\frac{2}{3}x) + C\).

Pembahasan

Untuk menyelesaikan integral tak tentu dari \(6 \cos^2(\frac{1}{3}x) dx\), kita perlu menggunakan identitas trigonometri untuk menyederhanakan \(\cos^2(\theta)\). Identitas yang relevan adalah \(\cos^2(\theta) = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}\).

Dalam kasus ini, \(\theta = \frac{1}{3}x\), sehingga \(2\theta = \frac{2}{3}x\).
Maka, \(\cos^2(\frac{1}{3}x) = \frac{1 + \cos(\frac{2}{3}x)}{2}\).

Substitusikan ini kembali ke dalam integral:
\(\int 6 \cos^2(\frac{1}{3}x) dx = \int 6 \left(\frac{1 + \cos(\frac{2}{3}x)}{2}\right) dx\)

Sederhanakan konstanta:
\(= \int 3 (1 + \cos(\frac{2}{3}x)) dx\)

Pisahkan integral menjadi dua bagian:
\(= 3 \int 1 dx + 3 \int \cos(\frac{2}{3}x) dx\)

Integral dari 1 dx adalah x:
\(3 \int 1 dx = 3x\)

Untuk integral \(\int \cos(\frac{2}{3}x) dx\), kita dapat menggunakan substitusi u = \(\frac{2}{3}x\), sehingga du = \(\frac{2}{3}dx\) atau \(dx = \frac{3}{2}du\).
\(3 \int \cos(u) \frac{3}{2} du = \frac{9}{2} \int \cos(u) du\)
Integral dari \(\cos(u)\) adalah \(\sin(u)\).
\(\frac{9}{2} \sin(u)\)

Substitusikan kembali u = \(\frac{2}{3}x\):
\(\frac{9}{2} \sin(\frac{2}{3}x)\)

Jadi, hasil integralnya adalah:
\(3x + \frac{9}{2} \sin(\frac{2}{3}x) + C\), di mana C adalah konstanta integrasi.