Tentukan himpunan penyelesaian dari |3x-2|<|8-2x|!

Himpunan penyelesaiannya adalah $-6 < x < 2$.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak $|3x-2|<|8-2x|$, kita dapat mengkuadratkan kedua sisi karena kedua sisi bernilai non-negatif.

${ |3x-2|^2 < |8-2x|^2 }$
${ (3x-2)^2 < (8-2x)^2 }$
${ (9x^2 - 12x + 4) < (64 - 32x + 4x^2) }$

Pindahkan semua suku ke satu sisi untuk membentuk pertidaksamaan kuadrat:
${ 9x^2 - 12x + 4 - 64 + 32x - 4x^2 < 0 }$
${ 5x^2 + 20x - 60 < 0 }$

Bagi seluruh pertidaksamaan dengan 5:
${ x^2 + 4x - 12 < 0 }$

Sekarang, kita cari akar-akar dari persamaan kuadrat $x^2 + 4x - 12 = 0$. Kita bisa memfaktorkan persamaan ini:
${ (x+6)(x-2) = 0 }$
Jadi, akar-akarnya adalah $x = -6$ dan $x = 2$.

Karena pertidaksamaan adalah ${ x^2 + 4x - 12 < 0 }$, kita mencari nilai x di mana parabola $y = x^2 + 4x - 12$ berada di bawah sumbu x. Parabola ini terbuka ke atas, sehingga nilai negatif berada di antara akar-akarnya.

Himpunan penyelesaiannya adalah ${ -6 < x < 2 }$.

Dalam notasi interval, himpunan penyelesaiannya adalah ${ (-6, 2) }$.

Verifikasi:
Ambil $x=0$ (di antara -6 dan 2): $|3(0)-2| < |8-2(0)| 
ightarrow |-2| < |8| 
ightarrow 2 < 8$ (Benar)
Ambil $x=-7$ (di luar interval): $|3(-7)-2| < |8-2(-7)| 
ightarrow |-21-2| < |8+14| 
ightarrow |-23| < |22| 
ightarrow 23 < 22$ (Salah)
Ambil $x=3$ (di luar interval): $|3(3)-2| < |8-2(3)| 
ightarrow |9-2| < |8-6| 
ightarrow |7| < |2| 
ightarrow 7 < 2$ (Salah)