Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan cos(5/3

Himpunan penyelesaian dari persamaan tersebut adalah {12°, 60°, 228°, 276°}.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan persamaan $\cos(\frac{5}{3} x + 120^{\circ}) = \cos(220^{\circ})$ dengan batasan $0 \le x \le 360^{\circ}$, kita perlu menggunakan sifat-sifat fungsi kosinus.

Jika $\cos A = \cos B$, maka solusi umumnya adalah $A = B + 360^{\circ}k$ atau $A = -B + 360^{\circ}k$, di mana $k$ adalah bilangan bulat.

Dalam kasus ini, $A = \frac{5}{3} x + 120^{\circ}$ dan $B = 220^{\circ}$.

Kasus 1: $A = B + 360^{\circ}k$
$\frac{5}{3} x + 120^{\circ} = 220^{\circ} + 360^{\circ}k$
$\frac{5}{3} x = 220^{\circ} - 120^{\circ} + 360^{\circ}k$
$\frac{5}{3} x = 100^{\circ} + 360^{\circ}k$
$x = \frac{3}{5} (100^{\circ} + 360^{\circ}k)$
$x = \frac{300^{\circ}}{5} + \frac{3 	imes 360^{\circ}}{5}k$
$x = 60^{\circ} + 216^{\circ}k$

Sekarang kita cari nilai $x$ dalam rentang $0^{\circ} \le x \le 360^{\circ}$:
Jika $k=0$, $x = 60^{\circ} + 216^{\circ}(0) = 60^{\circ}$. (Memenuhi syarat)
Jika $k=1$, $x = 60^{\circ} + 216^{\circ}(1) = 276^{\circ}$. (Memenuhi syarat)
Jika $k=2$, $x = 60^{\circ} + 216^{\circ}(2) = 60^{\circ} + 432^{\circ} = 492^{\circ}$. (Tidak memenuhi syarat)

Kasus 2: $A = -B + 360^{\circ}k$
$\frac{5}{3} x + 120^{\circ} = -220^{\circ} + 360^{\circ}k$
$\frac{5}{3} x = -220^{\circ} - 120^{\circ} + 360^{\circ}k$
$\frac{5}{3} x = -340^{\circ} + 360^{\circ}k$
$x = \frac{3}{5} (-340^{\circ} + 360^{\circ}k)$
$x = \frac{3 	imes (-340^{\circ})}{5} + \frac{3 	imes 360^{\circ}}{5}k$
$x = \frac{-1020^{\circ}}{5} + 216^{\circ}k$
$x = -204^{\circ} + 216^{\circ}k$

Sekarang kita cari nilai $x$ dalam rentang $0^{\circ} \le x \le 360^{\circ}$:
Jika $k=0$, $x = -204^{\circ} + 216^{\circ}(0) = -204^{\circ}$. (Tidak memenuhi syarat)
Jika $k=1$, $x = -204^{\circ} + 216^{\circ}(1) = 12^{\circ}$. (Memenuhi syarat)
Jika $k=2$, $x = -204^{\circ} + 216^{\circ}(2) = -204^{\circ} + 432^{\circ} = 228^{\circ}$. (Memenuhi syarat)
Jika $k=3$, $x = -204^{\circ} + 216^{\circ}(3) = -204^{\circ} + 648^{\circ} = 444^{\circ}$. (Tidak memenuhi syarat)

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah nilai-nilai $x$ yang memenuhi dari kedua kasus tersebut dalam rentang $0^{\circ} \le x \le 360^{\circ}$.

Himpunan penyelesaiannya adalah {$12^{\circ}, 60^{\circ}, 228^{\circ}, 276^{\circ}$}.

Perlu diperhatikan bahwa $220^{\circ}$ adalah sudut di kuadran III, dimana kosinus bernilai negatif. $\cos(220^{\circ}) = -\cos(40^{\circ})$.
Namun, persamaan diberikan dalam bentuk $\cos(\frac{5}{3} x + 120^{\circ}) = \cos(220^{\circ})$, sehingga kita langsung menggunakan nilai $220^{\circ}$ sebagai referensi sudut.

Verifikasi:
Untuk $x = 60^{\circ}$: $\cos(\frac{5}{3} (60^{\circ}) + 120^{\circ}) = \cos(100^{\circ} + 120^{\circ}) = \cos(220^{\circ})$.
Untuk $x = 276^{\circ}$: $\cos(\frac{5}{3} (276^{\circ}) + 120^{\circ}) = \cos(460^{\circ} + 120^{\circ}) = \cos(580^{\circ}) = \cos(580^{\circ} - 360^{\circ}) = \cos(220^{\circ})$.
Untuk $x = 12^{\circ}$: $\cos(\frac{5}{3} (12^{\circ}) + 120^{\circ}) = \cos(20^{\circ} + 120^{\circ}) = \cos(140^{\circ})$.
Untuk $x = 228^{\circ}$: $\cos(\frac{5}{3} (228^{\circ}) + 120^{\circ}) = \cos(380^{\circ} + 120^{\circ}) = \cos(500^{\circ}) = \cos(500^{\circ} - 360^{\circ}) = \cos(140^{\circ})$.

Sepertinya ada kesalahan dalam penerapan rumus atau interpretasi.

Jika $\cos A = \cos B$, maka $A = \pm B + 360k$.

Kasus 1: $A = B + 360k$
$\frac{5}{3}x + 120 = 220 + 360k$
$\frac{5}{3}x = 100 + 360k$
$x = \frac{3}{5}(100 + 360k) = 60 + 216k$
$k=0 
ightarrow x=60$
$k=1 
ightarrow x=60+216=276$

Kasus 2: $A = -B + 360k$
$\frac{5}{3}x + 120 = -220 + 360k$
$\frac{5}{3}x = -340 + 360k$
$x = \frac{3}{5}(-340 + 360k) = -204 + 216k$
$k=1 
ightarrow x = -204 + 216 = 12$
$k=2 
ightarrow x = -204 + 432 = 228$

Himpunan penyelesaiannya adalah {$12^{\circ}, 60^{\circ}, 228^{\circ}, 276^{\circ}$}.

Verifikasi ulang:
Untuk $x = 12^{\circ}$: $\cos(\frac{5}{3} (12^{\circ}) + 120^{\circ}) = \cos(20^{\circ} + 120^{\circ}) = \cos(140^{\circ})$.
Kita perlu cek apakah $\cos(140^{\circ}) = \cos(220^{\circ})$.
$\cos(140^{\circ}) = -\cos(180^{\circ}-140^{\circ}) = -\cos(40^{\circ})$.
$\cos(220^{\circ}) = -\cos(220^{\circ}-180^{\circ}) = -\cos(40^{\circ})$.
Jadi, $x=12^{\circ}$ adalah benar.

Untuk $x = 60^{\circ}$: $\cos(\frac{5}{3} (60^{\circ}) + 120^{\circ}) = \cos(100^{\circ} + 120^{\circ}) = \cos(220^{\circ})$.
Jadi, $x=60^{\circ}$ adalah benar.

Untuk $x = 228^{\circ}$: $\cos(\frac{5}{3} (228^{\circ}) + 120^{\circ}) = \cos(380^{\circ} + 120^{\circ}) = \cos(500^{\circ}) = \cos(500^{\circ} - 360^{\circ}) = \cos(140^{\circ})$.
Dan $\cos(140^{\circ}) = \cos(220^{\circ})$ karena keduanya sama dengan $-\cos(40^{\circ})$.
Jadi, $x=228^{\circ}$ adalah benar.

Untuk $x = 276^{\circ}$: $\cos(\frac{5}{3} (276^{\circ}) + 120^{\circ}) = \cos(460^{\circ} + 120^{\circ}) = \cos(580^{\circ}) = \cos(580^{\circ} - 360^{\circ}) = \cos(220^{\circ})$.
Jadi, $x=276^{\circ}$ adalah benar.

Himpunan penyelesaian dari persamaan $\cos(\frac{5}{3} x + 120^{\circ}) = \cos(220^{\circ})$ dengan $0 \le x \le 360^{\circ}$ adalah {$12^{\circ}, 60^{\circ}, 228^{\circ}, 276^{\circ}$}.