Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan logaritma

{$3^{-3 + 2\sqrt{3}}$, $3^{-3 - 2\sqrt{3}}$}

Pembahasan

Untuk menyelesaikan persamaan logaritma $2 	imes ^3	ext{log}^2(x) + 3 	imes ^3	ext{log}(x^4) = 3 	imes ^3	ext{log}9$, kita perlu menggunakan sifat-sifat logaritma.

Persamaan: $2(	ext{log}_3 x)^2 + 3 	ext{log}_3(x^4) = 3 	ext{log}_3 9$

Sifat logaritma yang akan digunakan:
1.  $n 	ext{log}_b a = 	ext{log}_b (a^n)$
2.  $	ext{log}_b (a^n) = n 	ext{log}_b a$
3.  $	ext{log}_b b = 1$
4.  $	ext{log}_b (a 	imes c) = 	ext{log}_b a + 	ext{log}_b c$

Asumsikan bahwa $	ext{log}^2(x)$ berarti $(	ext{log}(x))^2$.

Langkah 1: Sederhanakan suku-suku dalam persamaan.
*   $3 	ext{log}_3(x^4) = 3 	imes (4 	ext{log}_3 x) = 12 	ext{log}_3 x$
*   $3 	ext{log}_3 9 = 3 	imes 	ext{log}_3 (3^2) = 3 	imes (2 	ext{log}_3 3) = 3 	imes (2 	imes 1) = 6$

Substitusikan kembali ke persamaan awal:
$2(	ext{log}_3 x)^2 + 12 	ext{log}_3 x = 6$

Langkah 2: Ubah persamaan menjadi bentuk kuadrat.
Bagi seluruh persamaan dengan 2:
$(	ext{log}_3 x)^2 + 6 	ext{log}_3 x = 3$

Pindahkan semua suku ke satu sisi:
$(	ext{log}_3 x)^2 + 6 	ext{log}_3 x - 3 = 0$

Misalkan $y = 	ext{log}_3 x$. Maka persamaan menjadi:
$y^2 + 6y - 3 = 0$

Langkah 3: Selesaikan persamaan kuadrat untuk y.
Kita bisa menggunakan rumus kuadrat $y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$, di mana a=1, b=6, c=-3.

$y = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4(1)(-3)}}{2(1)}$
$y = \frac{-6 \pm \sqrt{36 + 12}}{2}$
$y = \frac{-6 \pm \sqrt{48}}{2}$
$y = \frac{-6 \pm \sqrt{16 \times 3}}{2}$
$y = \frac{-6 \pm 4\sqrt{3}}{2}$
$y = -3 \pm 2\sqrt{3}$

Jadi, kita punya dua kemungkinan nilai untuk y:
$y_1 = -3 + 2\sqrt{3}$
$y_2 = -3 - 2\sqrt{3}$

Langkah 4: Cari nilai x.
Ingat bahwa $y = 	ext{log}_3 x$.

Kasus 1: $y_1 = -3 + 2\sqrt{3}$
$	ext{log}_3 x = -3 + 2\sqrt{3}$
$x = 3^{-3 + 2\sqrt{3}}$

Kasus 2: $y_2 = -3 - 2\sqrt{3}$
$	ext{log}_3 x = -3 - 2\sqrt{3}$
$x = 3^{-3 - 2\sqrt{3}}$

Kita juga perlu memastikan bahwa domain logaritma terpenuhi, yaitu $x > 0$. Kedua solusi yang didapatkan adalah positif, karena basis 3 dipangkatkan dengan bilangan real apapun akan menghasilkan nilai positif.

Himpunan penyelesaiannya adalah {$3^{-3 + 2\sqrt{3}}$, $3^{-3 - 2\sqrt{3}}$}.