Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem linear tiga

Himpunan penyelesaian sistem persamaan $x + y + z = 2$, $x + 2y - z = 6$, $2x - y + 3z = 14$ adalah $(rac{56}{5}, -rac{24}{5}, -rac{22}{5})$.

Pembahasan

Untuk menentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear tiga variabel dengan metode substitusi, kita perlu mengikuti langkah-langkah berikut:

Persamaan yang diberikan:
a. $x + y + z = 2$, $x + 2y - z = 6$
b. $2x - y + 3z = 14$, $x + y - 2z = -5$, $3x + y - z = 2$

Karena soal meminta metode substitusi, namun hanya memberikan satu set persamaan di bagian (a) dan dua set persamaan di bagian (b) tanpa kejelasan mana yang harus diselesaikan, saya akan memberikan contoh penyelesaian untuk salah satu set persamaan yang lebih lengkap.

Mari kita selesaikan sistem persamaan:
1) $x + y + z = 2$
2) $x + 2y - z = 6$
3) $2x - y + 3z = 14$ (Menggunakan persamaan ketiga dari bagian b untuk membuat sistem 3 variabel yang lengkap)

Langkah 1: Ubah salah satu persamaan untuk menyatakan satu variabel dalam bentuk variabel lainnya.
Dari persamaan (1), kita dapat menyatakan $z$ sebagai:
$z = 2 - x - y$ (Persamaan 4)

Langkah 2: Substitusikan Persamaan 4 ke dalam persamaan lain yang tidak digunakan untuk mendapatkan sistem dua variabel.
Substitusikan ke persamaan (2):
$x + 2y - (2 - x - y) = 6$
$x + 2y - 2 + x + y = 6$
$2x + 3y - 2 = 6$
$2x + 3y = 8$ (Persamaan 5)

Substitusikan ke persamaan (3):
$2x - y + 3(2 - x - y) = 14$
$2x - y + 6 - 3x - 3y = 14$
$-x - 4y + 6 = 14$
$-x - 4y = 8$
$x + 4y = -8$ (Persamaan 6)

Langkah 3: Selesaikan sistem dua variabel (Persamaan 5 dan 6) dengan metode substitusi.
Dari Persamaan 6, kita dapat menyatakan $x$ sebagai:
$x = -8 - 4y$ (Persamaan 7)

Substitusikan Persamaan 7 ke Persamaan 5:
$2(-8 - 4y) + 3y = 8$
$-16 - 8y + 3y = 8$
$-16 - 5y = 8$
$-5y = 8 + 16$
$-5y = 24$
$y = -rac{24}{5}$

Langkah 4: Substitusikan nilai y kembali ke Persamaan 7 untuk mencari nilai x.
$x = -8 - 4(-rac{24}{5})$
$x = -8 + rac{96}{5}$
$x = -rac{40}{5} + rac{96}{5}$
$x = rac{56}{5}$

Langkah 5: Substitusikan nilai x dan y ke Persamaan 4 untuk mencari nilai z.
$z = 2 - x - y$
$z = 2 - rac{56}{5} - (-rac{24}{5})$
$z = 2 - rac{56}{5} + rac{24}{5}$
$z = rac{10}{5} - rac{56}{5} + rac{24}{5}$
$z = rac{10 - 56 + 24}{5}$
$z = rac{-22}{5}$

Himpunan penyelesaiannya adalah $(rac{56}{5}, -rac{24}{5}, -rac{22}{5})$.

*Catatan: Terdapat ketidakjelasan dalam soal mengenai sistem persamaan mana yang harus diselesaikan, sehingga saya memilih satu kombinasi untuk didemonstrasikan.*