Kelas 12Kelas 11mathEksponen Dan Logaritma
Jika a>b>1 memenuhi ekspresi: alogb^2+bloga^6=13 hitunglah
Pertanyaan
Jika a>b>1 memenuhi ekspresi: a log b^2 + b log a^6 = 13, hitunglah nilai dari ekspresi (a+b^4)/(a^2+b^2).
Solusi
Verified
Nilai ekspresi tersebut adalah 1.
Pembahasan
Diketahui ekspresi: a^log(b^2) + b^log(a^6) = 13, dengan a > b > 1. Kita dapat menggunakan sifat logaritma: n log x = log x^n dan log_b a = 1 / log_a b. Ekspresi dapat ditulis ulang menggunakan sifat logaritma: 2 * a log b + 6 * b log a = 13 Misalkan y = a log b. Maka, b log a = 1/y. Substitusikan ke dalam persamaan: 2y + 6(1/y) = 13 Kalikan seluruh persamaan dengan y untuk menghilangkan penyebut: 2y^2 + 6 = 13y Susun ulang menjadi persamaan kuadrat: 2y^2 - 13y + 6 = 0 Faktorkan persamaan kuadrat tersebut: (2y - 1)(y - 6) = 0 Maka, solusi untuk y adalah: 2y - 1 = 0 => y = 1/2 y - 6 = 0 => y = 6 Jadi, a log b = 1/2 atau a log b = 6. Kasus 1: a log b = 1/2 Ini berarti a^(1/2) = b, atau sqrt(a) = b. Karena a > b > 1, maka a > b^2. Kasus 2: a log b = 6 Ini berarti a^6 = b. Karena a > b > 1, maka a^6 > a, yang tidak konsisten dengan a > b. Jadi, kita gunakan kasus 1: b = sqrt(a). Sekarang kita perlu menghitung nilai dari ekspresi (a + b^4) / (a^2 + b^2). Substitusikan b = sqrt(a) ke dalam ekspresi: b^2 = (sqrt(a))^2 = a b^4 = (sqrt(a))^4 = a^2 Ekspresi menjadi: (a + a^2) / (a^2 + a) Kita dapat memfaktorkan 'a' dari pembilang dan penyebut: a(1 + a) / a(a + 1) Karena a > 1, maka a ≠ 0 dan a + 1 ≠ 0. Sehingga kita bisa mencoret faktor yang sama. Hasilnya adalah 1. Jadi, nilai dari ekspresi (a+b^4)/(a^2+b^2) adalah 1.
Topik: Logaritma
Section: Sifat Sifat Logaritma
Apakah jawaban ini membantu?