Tentukan HP dari persamaan cosx-sinx=-1 untuk 0=<x<=360.

HP dari persamaan cos x - sin x = -1 untuk 0 <= x <= 360 adalah {90°, 180°}.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan persamaan cos x - sin x = -1 untuk 0 <= x <= 360 derajat, kita bisa menggunakan identitas trigonometri.

Kita diberikan rumus: cos x - sin x = k cos(x + alpha), di mana k cos alpha = 1 dan k sin alpha = 1.
Kuadratkan kedua persamaan dan jumlahkan:
(k cos alpha)^2 + (k sin alpha)^2 = 1^2 + 1^2
k^2 cos^2 alpha + k^2 sin^2 alpha = 2
k^2 (cos^2 alpha + sin^2 alpha) = 2
k^2 (1) = 2
k = sqrt(2) (karena k positif).

Untuk mencari alpha, bagi kedua persamaan:
(k sin alpha) / (k cos alpha) = 1 / 1
tan alpha = 1.
Karena cos alpha positif dan sin alpha positif, alpha berada di kuadran I. Maka, alpha = 45 derajat.

Jadi, persamaan cos x - sin x = -1 dapat ditulis ulang sebagai:
sqrt(2) cos(x + 45) = -1
cos(x + 45) = -1 / sqrt(2)
cos(x + 45) = -sqrt(2) / 2.

Kita tahu bahwa cosinus bernilai -sqrt(2)/2 pada sudut 135 derajat dan 225 derajat.

Kasus 1: x + 45 = 135
x = 135 - 45
x = 90 derajat.

Kasus 2: x + 45 = 225
x = 225 - 45
x = 180 derajat.

Kita perlu memeriksa apakah solusi ini valid dalam rentang 0 <= x <= 360.

Untuk x = 90 derajat:
cos(90) - sin(90) = 0 - 1 = -1. (Valid)

Untuk x = 180 derajat:
cos(180) - sin(180) = -1 - 0 = -1. (Valid)

Jadi, Himpunan Penyelesaian (HP) dari persamaan cos x - sin x = -1 untuk 0 <= x <= 360 adalah {90 derajat, 180 derajat}.