Tentukan integral tak tentu berikut.a. integral

a. $\frac{27}{8}x^8 + \frac{1}{2}x^6 - \frac{45}{4}x^4 + \frac{2\sqrt{2}}{3}x^{3/2} + C$, b. $\frac{1}{6}x^6 + x^5 - \frac{3}{4}x^4 + \frac{\sqrt{3}}{3}x^3 + C$

Pembahasan

Untuk menentukan integral tak tentu dari fungsi-fungsi yang diberikan, kita akan menggunakan aturan pangkat untuk integral, yaitu $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$, di mana C adalah konstanta integrasi.

a. $\int (27x^7+3x^5-45x^3+\sqrt{2x}) dx$
Pertama, kita ubah $\sqrt{2x}$ menjadi $2^{1/2}x^{1/2}$.
Integral dari $27x^7$ adalah $\frac{27x^{7+1}}{7+1} = \frac{27x^8}{8}$.
Integral dari $3x^5$ adalah $\frac{3x^{5+1}}{5+1} = \frac{3x^6}{6} = \frac{1}{2}x^6$.
Integral dari $-45x^3$ adalah $\frac{-45x^{3+1}}{3+1} = \frac{-45x^4}{4}$.
Integral dari $\sqrt{2x} = 2^{1/2}x^{1/2}$ adalah $\frac{2^{1/2}x^{1/2+1}}{1/2+1} = \frac{2^{1/2}x^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}2^{1/2}x^{3/2} = \frac{2\sqrt{2}}{3}x^{3/2}$.
Jadi, hasil integralnya adalah $\frac{27}{8}x^8 + \frac{1}{2}x^6 - \frac{45}{4}x^4 + \frac{2\sqrt{2}}{3}x^{3/2} + C$.

b. $\int x^2(x^3+5x^2-3x+\sqrt{3}) dx$
Pertama, kita distribusikan $x^2$ ke dalam tanda kurung:
$x^2(x^3+5x^2-3x+\sqrt{3}) = x^5 + 5x^4 - 3x^3 + \sqrt{3}x^2$.
Sekarang kita integralkan setiap suku:
Integral dari $x^5$ adalah $\frac{x^{5+1}}{5+1} = \frac{x^6}{6}$.
Integral dari $5x^4$ adalah $\frac{5x^{4+1}}{4+1} = \frac{5x^5}{5} = x^5$.
Integral dari $-3x^3$ adalah $\frac{-3x^{3+1}}{3+1} = \frac{-3x^4}{4}$.
Integral dari $\sqrt{3}x^2$ adalah $\frac{\sqrt{3}x^{2+1}}{2+1} = \frac{\sqrt{3}x^3}{3}$.
Jadi, hasil integralnya adalah $\frac{1}{6}x^6 + x^5 - \frac{3}{4}x^4 + \frac{\sqrt{3}}{3}x^3 + C$.

Jawaban: a. $\frac{27}{8}x^8 + \frac{1}{2}x^6 - \frac{45}{4}x^4 + \frac{2\sqrt{2}}{3}x^{3/2} + C$, b. $\frac{1}{6}x^6 + x^5 - \frac{3}{4}x^4 + \frac{\sqrt{3}}{3}x^3 + C$