tentukan interval di cekung ke atas mana kurva dan cekung

Fungsi y = 2 sin^2 x cekung ke atas pada (0, π/4) ∪ (3π/4, π) ∪ (π, 5π/4) ∪ (7π/4, 2π), cekung ke bawah pada (π/4, 3π/4) ∪ (5π/4, 7π/4), dan memiliki titik belok di (π/4, 1), (3π/4, 1), (5π/4, 1), (7π/4, 1).

Pembahasan

Untuk menentukan interval kecekungan dan titik belok dari fungsi y = 2 sin^2 x pada interval 0 < x < 2π, kita perlu mencari turunan kedua dari fungsi tersebut.

1. **Mencari turunan pertama (y'):**
y = 2 sin^2 x
y' = 2 * 2 sin x * cos x = 4 sin x cos x = 2 sin(2x)

2. **Mencari turunan kedua (y''):**
y'' = 2 * cos(2x) * 2 = 4 cos(2x)

3. **Menentukan interval kecekungan:**
   - Fungsi cekung ke atas jika y'' > 0:
     4 cos(2x) > 0
     cos(2x) > 0
     Ini terjadi ketika 0 < 2x < π/2 atau 3π/2 < 2x < 2π (dalam satu siklus cosinus).
     Jadi, untuk x: 0 < x < π/4 atau 3π/4 < x < π.
     Karena kita melihat pada interval 0 < x < 2π, kita perlu mempertimbangkan siklus berikutnya:
     0 < 2x < π/2  => 0 < x < π/4
     3π/2 < 2x < 2π => 3π/4 < x < π
     2π < 2x < 5π/2 => π < x < 5π/4
     7π/2 < 2x < 4π => 7π/4 < x < 2π
     Jadi, fungsi cekung ke atas pada interval (0, π/4) ∪ (3π/4, π) ∪ (π, 5π/4) ∪ (7π/4, 2π).

   - Fungsi cekung ke bawah jika y'' < 0:
     4 cos(2x) < 0
     cos(2x) < 0
     Ini terjadi ketika π/2 < 2x < 3π/2.
     Jadi, untuk x: π/4 < x < 3π/4 atau 5π/4 < x < 7π/4.
     Jadi, fungsi cekung ke bawah pada interval (π/4, 3π/4) ∪ (5π/4, 7π/4).

4. **Menentukan titik belok:**
   Titik belok terjadi ketika y'' = 0 atau y'' tidak terdefinisi, dan kecekungan berubah.
   4 cos(2x) = 0
   cos(2x) = 0
   Ini terjadi ketika 2x = π/2, 3π/2, 5π/2, 7π/2, ...
   Jadi, untuk x: x = π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4.

   Sekarang kita periksa perubahan kecekungan pada titik-titik ini:
   - Di x = π/4: Kecekungan berubah dari atas ke bawah.
   - Di x = 3π/4: Kecekungan berubah dari bawah ke atas.
   - Di x = 5π/4: Kecekungan berubah dari atas ke bawah.
   - Di x = 7π/4: Kecekungan berubah dari bawah ke atas.

   Koordinat y pada titik belok:
   - y(π/4) = 2 sin^2(π/4) = 2 * (1/√2)^2 = 2 * (1/2) = 1
   - y(3π/4) = 2 sin^2(3π/4) = 2 * (1/√2)^2 = 2 * (1/2) = 1
   - y(5π/4) = 2 sin^2(5π/4) = 2 * (-1/√2)^2 = 2 * (1/2) = 1
   - y(7π/4) = 2 sin^2(7π/4) = 2 * (-1/√2)^2 = 2 * (1/2) = 1

   Jadi, koordinat titik beloknya adalah (π/4, 1), (3π/4, 1), (5π/4, 1), dan (7π/4, 1).

**Ringkasan:**
- Cekung ke atas: (0, π/4) ∪ (3π/4, π) ∪ (π, 5π/4) ∪ (7π/4, 2π)
- Cekung ke bawah: (π/4, 3π/4) ∪ (5π/4, 7π/4)
- Titik belok: (π/4, 1), (3π/4, 1), (5π/4, 1), (7π/4, 1)