tentukan interval di mana kurva cekung ke atas dan cekung

Cekung ke atas pada (0, 2pi), tidak ada interval cekung ke bawah, titik belok di (pi, pi^2+1).

Pembahasan

Untuk menentukan interval cekung ke atas dan cekung ke bawah, serta titik belok dari fungsi y = x^2 + cos^2 x, kita perlu mencari turunan kedua dari fungsi tersebut.

Langkah 1: Cari turunan pertama (y").
y = x^2 + cos^2 x
y
 = 2x + 2cos(x)(-sin(x))
y
 = 2x - 2sin(x)cos(x)
y
 = 2x - sin(2x)

Langkah 2: Cari turunan kedua (y"").
y"
 = 2 - cos(2x) * 2
y"
 = 2 - 2cos(2x)

Langkah 3: Tentukan interval cekung ke atas (y"
 > 0).
2 - 2cos(2x) > 0
2 > 2cos(2x)
1 > cos(2x)
Ini berlaku untuk semua nilai x karena nilai maksimum cosinus adalah 1.

Langkah 4: Tentukan interval cekung ke bawah (y"
 < 0).
2 - 2cos(2x) < 0
2 < 2cos(2x)
1 < cos(2x)
Ini tidak mungkin terjadi karena nilai maksimum cosinus adalah 1.

Langkah 5: Tentukan titik belok (y"
 = 0).
2 - 2cos(2x) = 0
2 = 2cos(2x)
1 = cos(2x)
Ini terjadi ketika 2x = 0, 2pi, 4pi, ...
Untuk 0 < x < 2pi, maka x = 0, pi.

Namun, karena soal meminta interval 0 < x < 2pi dan titik belok di dalam interval tersebut, mari kita periksa kembali.
Ketika cos(2x) = 1, maka 2x = 0 atau 2x = 2pi (dalam interval 0 hingga 2pi untuk 2x).
Maka x = 0 atau x = pi.
Pada x = pi, y" = 2 - 2cos(2pi) = 2 - 2(1) = 0.

Interval cekung ke atas: Seluruh domain (0, 2pi) karena y"
 selalu positif atau nol.
Interval cekung ke bawah: Tidak ada.
Koordinat titik belok: (pi, y(pi)).
y(pi) = pi^2 + cos^2(pi) = pi^2 + (-1)^2 = pi^2 + 1.
Jadi, titik beloknya adalah (pi, pi^2 + 1).

Revisi: Cekung ke atas terjadi saat y" > 0, yaitu 1 > cos(2x). Ini benar untuk semua x.
Cekung ke bawah terjadi saat y" < 0, yaitu 1 < cos(2x). Ini tidak pernah terjadi.
Titik belok terjadi saat y" = 0, yaitu cos(2x) = 1. Ini terjadi saat 2x = 2n*pi, sehingga x = n*pi.
Dalam interval 0 < x < 2pi, titik belok adalah saat x = pi.

Jawaban:
Kurva cekung ke atas pada interval (0, 2pi).
Tidak ada interval di mana kurva cekung ke bawah.
Koordinat titik belok adalah (pi, pi^2 + 1).