Tentukan jenis segitiga ABC, jika berlaku: a cos A+b cos

Segitiga siku-siku

Pembahasan

Diberikan persamaan segitiga ABC: a cos A + b cos B = c cos C.
Kita akan menggunakan aturan proyeksi dalam segitiga. Aturan proyeksi menyatakan bahwa:
c = a cos B + b cos A
a = b cos C + c cos B
b = a cos C + c cos A

Dari persamaan yang diberikan, kita dapat memanipulasinya:
a cos A + b cos B = c cos C

Kita tahu bahwa dalam segitiga, cos C = (a^2 + b^2 - c^2) / 2ab.
Jika kita substitusikan ini ke dalam persamaan:
a cos A + b cos B = c * [(a^2 + b^2 - c^2) / 2ab]

Ini menjadi rumit. Mari kita coba pendekatan lain menggunakan aturan proyeksi.

Kita memiliki:
c cos C = a cos A + b cos B

Ini tidak sesuai dengan bentuk aturan proyeksi yang standar.
Mari kita periksa apakah ada identitas trigonometri lain yang bisa digunakan atau apakah ini mengarah pada jenis segitiga tertentu.

Jika kita menganggap aturan proyeksi:
Dari c = a cos B + b cos A
Dari a = b cos C + c cos B
Dari b = a cos C + c cos A

Jika kita mengalikan persamaan pertama dengan c, kedua dengan a, dan ketiga dengan b:

c^2 = ac cos B + bc cos A
a^2 = ab cos C + ac cos B
b^2 = ab cos C + bc cos A

Perhatikan bahwa persamaan a cos A + b cos B = c cos C
Kita bisa mengalikan kedua sisi dengan c:
c(a cos A + b cos B) = c^2 cos C

Sekarang mari kita lihat kasus-kasus khusus:
Jika segitiga sama sisi (a=b=c, A=B=C=60 derajat):
cos 60 = 1/2.
a(1/2) + a(1/2) = a(1/2) => a = a/2 (Salah)

Jika segitiga sama kaki (misal a=b):
2a cos A + a cos B = c cos C

Mari kita gunakan hukum sinus dan cosinus.
hukum sinus: a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R
a = 2R sin A, b = 2R sin B, c = 2R sin C
hukum cosinus: cos A = (b^2 + c^2 - a^2) / 2bc, cos B = (a^2 + c^2 - b^2) / 2ac, cos C = (a^2 + b^2 - c^2) / 2ab

Substitusikan hukum cosinus ke dalam persamaan:
a[(b^2 + c^2 - a^2) / 2bc] + b[(a^2 + c^2 - b^2) / 2ac] = c[(a^2 + b^2 - c^2) / 2ab]

Kalikan kedua sisi dengan 2abc:
ab(b^2 + c^2 - a^2) + b^2(a^2 + c^2 - b^2) = c^2(a^2 + b^2 - c^2)

ab^3 + abc^2 - a^3b + a^2b^2 + b^2c^2 - b^4 = a^2c^2 + b^2c^2 - c^4

ab^3 + abc^2 - a^3b - b^4 = a^2c^2 - c^4

Ini masih rumit.

Kembali ke aturan proyeksi:
c = a cos B + b cos A
a = b cos C + c cos B
b = a cos C + c cos A

Persamaan yang diberikan: a cos A + b cos B = c cos C

Perhatikan persamaan b = a cos C + c cos A. Kalikan dengan cos B:
b cos B = a cos C cos B + c cos A cos B

Perhatikan persamaan a = b cos C + c cos B. Kalikan dengan cos A:
a cos A = b cos C cos A + c cos B cos A

Jumlahkan kedua persamaan terakhir:
a cos A + b cos B = b cos C cos A + c cos B cos A + a cos C cos B + c cos B cos A
a cos A + b cos B = cos C (a cos B + b cos A) + 2c cos A cos B

Kita tahu c = a cos B + b cos A.
Jadi, a cos A + b cos B = c cos C + 2c cos A cos B

Karena persamaan awal adalah a cos A + b cos B = c cos C, maka kita substitusikan:
c cos C = c cos C + 2c cos A cos B

Ini berarti 2c cos A cos B = 0.
Karena c tidak mungkin nol (sisi segitiga), maka cos A cos B = 0.
Ini mengimplikasikan bahwa cos A = 0 atau cos B = 0 (atau keduanya).

Jika cos A = 0, maka sudut A = 90 derajat.
Jika cos B = 0, maka sudut B = 90 derajat.

Jika salah satu sudut segitiga adalah 90 derajat, maka segitiga tersebut adalah segitiga siku-siku.

Jadi, jenis segitiga ABC adalah segitiga siku-siku.