Tentukan kedalaman suatu wadah berbentuk kerucut yang diisi

Kedalaman: \frac{125}{24\pi} cm. Luas Permukaan: $144\pi + 12\pi \sqrt{144 + \frac{15625}{576\pi^2}}$ cm$^2$.

Pembahasan

Kita perlu menentukan kedalaman wadah berbentuk kerucut dan luas permukaannya, dengan informasi volume dan diameter.

Diketahui:
Volume zat cair, $V = 250 	ext{ cm}^3$
Diameter kerucut, $d = 24 	ext{ cm}$

Dari diameter, kita bisa mendapatkan jari-jari alas kerucut, $r$:
$r = \frac{d}{2} = \frac{24 	ext{ cm}}{2} = 12 	ext{ cm}$

Rumus volume kerucut adalah $V = \frac{1}{3}\pi r^2 t$, di mana $t$ adalah tinggi atau kedalaman kerucut.
Kita bisa menggunakan informasi volume untuk mencari kedalaman (tinggi) $t$:
$250 = \frac{1}{3}\pi (12)^2 t$
$250 = \frac{1}{3}\pi (144) t$
$250 = 48\pi t$

Untuk mencari $t$, kita susun ulang rumusnya:
$t = \frac{250}{48\pi}$
$t = \frac{125}{24\pi} 	ext{ cm}$

Jadi, kedalaman wadah kerucut adalah $\frac{125}{24\pi}$ cm.

Selanjutnya, kita perlu menentukan luas permukaan kerucut. Rumus luas permukaan kerucut ($L$) adalah $L = \pi r (r + s)$, di mana $s$ adalah garis pelukis kerucut.

Garis pelukis $s$ dapat dihitung menggunakan teorema Pythagoras pada segitiga siku-siku yang dibentuk oleh jari-jari ($r$), tinggi ($t$), dan garis pelukis ($s$): $s^2 = r^2 + t^2$.

Kita sudah memiliki $r = 12$ cm dan $t = \frac{125}{24\pi}$ cm.
$s^2 = (12)^2 + \left(\frac{125}{24\pi}\right)^2$
$s^2 = 144 + \frac{15625}{576\pi^2}$
$s = \sqrt{144 + \frac{15625}{576\pi^2}}$

Menghitung nilai $s$ ini akan menghasilkan nilai yang cukup kompleks jika tidak disederhanakan atau menggunakan nilai $\pi$ yang mendekati.
Mari kita hitung nilai numerik untuk $t$ terlebih dahulu untuk mendapatkan gambaran:
$t \approx \frac{125}{24 \times 3.14159} \approx \frac{125}{75.398} \approx 1.658 	ext{ cm}$

Karena $t$ cukup kecil dibandingkan $r$, maka $s$ akan mendekati $r$.
$s^2 \approx (12)^2 + (1.658)^2$
$s^2 \approx 144 + 2.749
$s^2 \approx 146.749$
$s \approx \sqrt{146.749} \approx 12.114 	ext{ cm}$

Sekarang kita hitung luas permukaan kerucut:
$L = \pi r (r + s)$
$L = \pi (12) \left(12 + \sqrt{144 + \frac{15625}{576\pi^2}}\right)$

Jika kita gunakan nilai $t = \frac{125}{24\pi}$ secara eksak:
$L = 12\pi \left(12 + \sqrt{144 + \frac{15625}{576\pi^2}}\right)$

Menghitung nilai eksak ini rumit. Mari kita coba sederhanakan $s^2$ terlebih dahulu:
$s^2 = 144 + \frac{15625}{576\pi^2} = \frac{144 \times 576\pi^2 + 15625}{576\pi^2} = \frac{82944\pi^2 + 15625}{576\pi^2}$
$s = \frac{\sqrt{82944\pi^2 + 15625}}{24\pi}$

Maka luas permukaannya adalah:
$L = 12\pi \left(12 + \frac{\sqrt{82944\pi^2 + 15625}}{24\pi}\right)$
$L = 144\pi + 12\pi \frac{\sqrt{82944\pi^2 + 15625}}{24\pi}$
$L = 144\pi + \frac{\sqrt{82944\pi^2 + 15625}}{2}$

Ini adalah bentuk eksak dari luas permukaan.

Jika kita diminta nilai numerik menggunakan $\pi \approx 3.14$:
$t \approx 1.658 	ext{ cm}$
$s \approx 12.114 	ext{ cm}$
$L \approx \pi (12) (12 + 12.114)$
$L \approx 12\pi (24.114)$
$L \approx 12 \times 3.14159 \times 24.114$
$L \approx 37.699 \times 24.114$
$L \approx 908.8 	ext{ cm}^2$

Jawaban yang diminta adalah:
1. Kedalaman wadah berbentuk kerucut: $t = \frac{125}{24\pi}$ cm.
2. Luas permukaan kerucut: $L = 144\pi + \frac{\sqrt{82944\pi^2 + 15625}}{2} 	ext{ cm}^2$ (bentuk eksak) atau sekitar $908.8 	ext{ cm}^2$ (nilai numerik).

Jika soal ini mengharapkan jawaban numerik, maka kita perlu menggunakan aproksimasi $\pi$.

Jawaban eksak:
Kedalaman $t = \frac{125}{24\pi}$ cm.
Luas Permukaan $L = 12\pi (12 + s)$, dengan $s = \sqrt{144 + (\frac{125}{24\pi})^2}$.

Mari kita berikan jawaban dengan nilai $\pi$. Kadang-kadang soal matematika mengizinkan jawaban dalam bentuk $\pi$.

Kedalaman: $t = \frac{125}{24\pi}$ cm.
Luas Permukaan: $L = \pi r^2 + \pi r s = \pi (12)^2 + \pi (12) s = 144\pi + 12\pi s$
$s = \sqrt{12^2 + (\frac{125}{24\pi})^2} = \sqrt{144 + \frac{15625}{576\pi^2}}$
$L = 144\pi + 12\pi \sqrt{144 + \frac{15625}{576\pi^2}}$

Ini adalah jawaban yang paling tepat jika tidak diminta aproksimasi numerik.