Tentukan koordinat titik pusat dan fokus elips- elips

Pusat: (-3, 1), Fokus: (-3, 1 ± sqrt(21)).

Pembahasan

Untuk menentukan koordinat titik pusat dan fokus elips dari persamaan 25x^2 + 4y^2 + 150x - 8y + 129 = 0, kita perlu mengubah persamaan tersebut ke dalam bentuk standar elips. Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:

1.  **Kelompokkan suku-suku x dan y:**
    (25x^2 + 150x) + (4y^2 - 8y) = -129

2.  **Faktorkan koefisien dari x^2 dan y^2:**
    25(x^2 + 6x) + 4(y^2 - 2y) = -129

3.  **Lengkapi kuadrat untuk suku x dan y:**
    Untuk suku x: (x^2 + 6x), tambahkan (6/2)^2 = 9 di dalam kurung. Karena dikalikan 25, maka tambahkan 25 * 9 = 225 ke sisi kanan.
    Untuk suku y: (y^2 - 2y), tambahkan (-2/2)^2 = 1 di dalam kurung. Karena dikalikan 4, maka tambahkan 4 * 1 = 4 ke sisi kanan.

    25(x^2 + 6x + 9) + 4(y^2 - 2y + 1) = -129 + 225 + 4

4.  **Tulis ulang dalam bentuk kuadrat sempurna:**
    25(x + 3)^2 + 4(y - 1)^2 = 100

5.  **Bagi kedua sisi dengan 100 untuk mendapatkan bentuk standar elips ( (x-h)^2/a^2 + (y-k)^2/b^2 = 1 atau (x-h)^2/b^2 + (y-k)^2/a^2 = 1 ):**
    (25(x + 3)^2)/100 + (4(y - 1)^2)/100 = 100/100
    (x + 3)^2 / 4 + (y - 1)^2 / 25 = 1

6.  **Identifikasi titik pusat (h, k) dan nilai a^2 serta b^2:**
    Dari bentuk standar, kita dapat melihat bahwa:
    h = -3
    k = 1
    Jadi, titik pusat elips adalah (-3, 1).

    Karena penyebut di bawah suku y (25) lebih besar dari penyebut di bawah suku x (4), maka sumbu mayor berada pada arah vertikal.
    a^2 = 25  => a = 5
    b^2 = 4   => b = 2

7.  **Hitung nilai c untuk menemukan fokus:**
    c^2 = a^2 - b^2
    c^2 = 25 - 4
    c^2 = 21
    c = sqrt(21)

8.  **Tentukan koordinat fokus:**
    Karena sumbu mayor vertikal, fokus berada pada (h, k ± c).
    Fokus 1: (-3, 1 + sqrt(21))
    Fokus 2: (-3, 1 - sqrt(21))

**Jawaban Ringkas:**
Titik pusat elips adalah (-3, 1). Fokus elips berada di (-3, 1 + sqrt(21)) dan (-3, 1 - sqrt(21)).