Buktikanlah pernyataan berikut benar atau salah: Jika p =

Pernyataan tersebut salah berdasarkan identitas trigonometri standar.

Pembahasan

Untuk membuktikan pernyataan ini, kita dapat menggunakan identitas trigonometri. Diketahui p = √3 tan A.
Kita tahu bahwa tan A = sin A / cos A. Maka, p = √3 (sin A / cos A).
Dari sini, kita bisa mendapatkan sin A dalam bentuk p dan cos A:
sin A = (p * cos A) / √3

Kita juga tahu identitas trigonometri: sin^2 A + cos^2 A = 1.
Kita bisa mengganti sin A dengan ekspresi yang melibatkan p:
((p * cos A) / √3)^2 + cos^2 A = 1
(p^2 * cos^2 A) / 3 + cos^2 A = 1
cos^2 A * (p^2 / 3 + 1) = 1
cos^2 A * ((p^2 + 3) / 3) = 1
cos^2 A = 3 / (p^2 + 3)

Sekarang kita cari sin^2 A:
sin^2 A = 1 - cos^2 A
sin^2 A = 1 - (3 / (p^2 + 3))
sin^2 A = ((p^2 + 3) - 3) / (p^2 + 3)
sin^2 A = p^2 / (p^2 + 3)

Ambil akar kuadrat dari kedua sisi:
sin A = ±√(p^2 / (p^2 + 3))
sin A = ±p / √(p^2 + 3)

Untuk mendapatkan bentuk yang diminta, yaitu sin A = (2p√3) / (3+p^2), kita perlu mengalikan pembilang dan penyebut dengan √3:
sin A = ±(p√3) / (√(p^2 + 3) * √3)
sin A = ±(p√3) / √(3(p^2 + 3))
sin A = ±(p√3) / √(3p^2 + 9)

Terlihat ada ketidaksesuaian dengan soal. Mari kita coba pendekatan lain. Jika p = √3 tan A, maka tan A = p/√3.
Kita bisa menggunakan segitiga siku-siku. Jika tan A = depan/samping = p/√3, maka sisi depan adalah p dan sisi samping adalah √3. Sisi miring (hipotenusa) adalah √(p^2 + (√3)^2) = √(p^2 + 3).
Dari segitiga ini, sin A = depan/miring = p / √(p^2 + 3).

Sekarang, mari kita coba manipulasi bentuk yang diberikan: (2p√3) / (3+p^2).
Kita tahu bahwa jika sin A = p / √(p^2 + 3), maka sin^2 A = p^2 / (p^2 + 3).

Jika kita kuadratkan bentuk yang diberikan:
((2p√3) / (3+p^2))^2 = (4p^2 * 3) / (3+p^2)^2 = 12p^2 / (3+p^2)^2.
Ini tidak sama dengan sin^2 A = p^2 / (p^2 + 3).

Oleh karena itu, pernyataan tersebut kemungkinan besar salah, kecuali ada batasan tertentu pada A atau p yang tidak disebutkan.