Tentukan koordinat titik stasioner dan jenisnya dari fungsi

Titik stasioner adalah (3/2, -27/2) sebagai titik balik minimum dan (-1/2, 5/2) sebagai titik balik maksimum.

Pembahasan

Untuk menentukan koordinat titik stasioner, kita perlu mencari turunan pertama dari fungsi f(x) = 4x^3 - 6x^2 - 9x, lalu menyamakannya dengan nol.

f'(x) = 12x^2 - 12x - 9

Samakan f'(x) dengan nol:
12x^2 - 12x - 9 = 0
Bagi dengan 3:
4x^2 - 4x - 3 = 0

Gunakan rumus kuadrat untuk mencari nilai x:
x = [-b ± sqrt(b^2 - 4ac)] / 2a
x = [4 ± sqrt((-4)^2 - 4 * 4 * -3)] / (2 * 4)
x = [4 ± sqrt(16 + 48)] / 8
x = [4 ± sqrt(64)] / 8
x = [4 ± 8] / 8

x1 = (4 + 8) / 8 = 12 / 8 = 3/2
x2 = (4 - 8) / 8 = -4 / 8 = -1/2

Sekarang, kita cari nilai f(x) untuk masing-masing nilai x:
Untuk x = 3/2:
f(3/2) = 4(3/2)^3 - 6(3/2)^2 - 9(3/2)
f(3/2) = 4(27/8) - 6(9/4) - 27/2
f(3/2) = 27/2 - 27/2 - 27/2
f(3/2) = -27/2

Untuk x = -1/2:
f(-1/2) = 4(-1/2)^3 - 6(-1/2)^2 - 9(-1/2)
f(-1/2) = 4(-1/8) - 6(1/4) + 9/2
f(-1/2) = -1/2 - 3/2 + 9/2
f(-1/2) = 5/2

Untuk menentukan jenis titik stasioner, kita gunakan turunan kedua:
f''(x) = 24x - 12

Untuk x = 3/2:
f''(3/2) = 24(3/2) - 12 = 36 - 12 = 24
Karena f''(3/2) > 0, maka titik (3/2, -27/2) adalah titik balik minimum.

Untuk x = -1/2:
f''(-1/2) = 24(-1/2) - 12 = -12 - 12 = -24
Karena f''(-1/2) < 0, maka titik (-1/2, 5/2) adalah titik balik maksimum.