Tentukan domain, range, titik potong grafik terhadap

Domain: x ≠ 1, Range: y ≠ 2, Titik Potong Sumbu-x: (-1/2, 0), Titik Potong Sumbu-y: (0, -1), Asimtot Tegak: x = 1, Asimtot Datar: y = 2.

Pembahasan

Untuk menentukan domain, range, titik potong grafik terhadap sumbu-sumbu koordinat, asimtot tegak, dan asimtot datar dari fungsi rasional f(x) = (2x+1)/(x-1), kita perlu menganalisis setiap komponen:

1.  **Domain:** Domain adalah semua nilai x yang membuat fungsi terdefinisi. Fungsi rasional tidak terdefinisi ketika penyebutnya sama dengan nol. Jadi, x - 1 ≠ 0, yang berarti x ≠ 1. Oleh karena itu, domainnya adalah semua bilangan real kecuali 1, atau D(f) = {x | x ∈ R, x ≠ 1}.

2.  **Range:** Range adalah semua nilai y yang dapat dihasilkan oleh fungsi. Untuk mencari range, kita bisa mencoba menyatakan x dalam bentuk y. Dari f(x) = y, kita punya y = (2x+1)/(x-1). Maka, y(x-1) = 2x+1, yang memberikan yx - y = 2x + 1. Mengumpulkan suku-suku x: yx - 2x = y + 1, sehingga x(y-2) = y + 1. Ini berarti x = (y+1)/(y-2). Fungsi ini tidak terdefinisi ketika penyebutnya nol, yaitu y - 2 ≠ 0, atau y ≠ 2. Jadi, range-nya adalah semua bilangan real kecuali 2, atau R(f) = {y | y ∈ R, y ≠ 2}.

3.  **Titik Potong Sumbu-sumbu Koordinat:**
    *   **Titik Potong Sumbu-x (saat y=0):** Atur f(x) = 0. Maka, (2x+1)/(x-1) = 0. Ini terjadi ketika pembilangnya nol, yaitu 2x+1 = 0, sehingga x = -1/2. Titik potongnya adalah (-1/2, 0).
    *   **Titik Potong Sumbu-y (saat x=0):** Atur x = 0. Maka, f(0) = (2*0 + 1)/(0 - 1) = 1/(-1) = -1. Titik potongnya adalah (0, -1).

4.  **Asimtot Tegak:** Asimtot tegak terjadi ketika penyebut fungsi rasional bernilai nol, sementara pembilangnya tidak nol pada nilai x tersebut. Dalam kasus ini, penyebutnya adalah x-1. Mengatur x-1 = 0 memberikan x = 1. Pada x=1, pembilangnya adalah 2(1)+1 = 3 (tidak nol). Jadi, asimtot tegaknya adalah garis x = 1.

5.  **Asimtot Datar:** Asimtot datar ditentukan dengan melihat perilaku fungsi saat x mendekati tak hingga (positif atau negatif). Untuk fungsi rasional f(x) = (ax+b)/(cx+d), jika derajat pembilang sama dengan derajat penyebut, asimtot datarnya adalah y = a/c. Dalam kasus f(x) = (2x+1)/(x-1), derajat pembilang (1) sama dengan derajat penyebut (1). Koefisien x pada pembilang adalah 2 dan pada penyebut adalah 1. Jadi, asimtot datarnya adalah y = 2/1 = 2.

**Ringkasan:**
Domain: x ≠ 1
Range: y ≠ 2
Titik Potong Sumbu-x: (-1/2, 0)
Titik Potong Sumbu-y: (0, -1)
Asimtot Tegak: x = 1
Asimtot Datar: y = 2