Tentukan limit berikut ini. limit x->0 (1-cos x)/(tan^2(x))

1/2

Pembahasan

Untuk menentukan limit fungsi $\frac{1-\cos x}{\tan^2(x)}$ saat $x \to 0$, kita bisa menggunakan identitas trigonometri dan aturan L'Hopital jika diperlukan.

Identitas yang relevan:
$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$, sehingga $\tan^2 x = \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}$
$1 - \cos x = 2 \sin^2(\frac{x}{2})$
Atau kita bisa menggunakan identitas $1 - \cos x = 2 \sin^2(\frac{x}{2})$ dan $\sin x \approx x$ untuk $x \to 0$.

Mari kita substitusikan $\tan^2 x$:
$$ \lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{\tan^2(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}} = \lim_{x \to 0} \frac{(1-\cos x)\cos^2 x}{\sin^2 x} $$ 

Kita tahu bahwa $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x = (1-\cos x)(1+\cos x)$.
$$ \lim_{x \to 0} \frac{(1-\cos x)\cos^2 x}{(1-\cos x)(1+\cos x)} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos^2 x}{1+\cos x} $$ 

Sekarang, substitusikan $x=0$:
$$ \frac{\cos^2 0}{1+\cos 0} = \frac{1^2}{1+1} = \frac{1}{2} $$ 

Alternatif menggunakan $1 - \cos x = 2 \sin^2(\frac{x}{2})$ dan $\sin x = 2 \sin(\frac{x}{2}) \cos(\frac{x}{2})$:
$$ \lim_{x \to 0} \frac{2 \sin^2(\frac{x}{2})}{(\frac{\sin x}{\cos x})^2} = \lim_{x \to 0} \frac{2 \sin^2(\frac{x}{2}) \cos^2 x}{\sin^2 x} $$ 

Gunakan $\sin x = 2 \sin(\frac{x}{2}) \cos(\frac{x}{2})$:
$$ \lim_{x \to 0} \frac{2 \sin^2(\frac{x}{2}) \cos^2 x}{(2 \sin(\frac{x}{2}) \cos(\frac{x}{2}))^2} = \lim_{x \to 0} \frac{2 \sin^2(\frac{x}{2}) \cos^2 x}{4 \sin^2(\frac{x}{2}) \cos^2(\frac{x}{2})} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos^2 x}{2 \cos^2(\frac{x}{2})} $$ 

Substitusikan $x=0$:
$$ \frac{\cos^2 0}{2 \cos^2(0)} = \frac{1^2}{2 \cdot 1^2} = \frac{1}{2} $$ 

Jadi, limitnya adalah 1/2.