Tentukan limit fungsi berikut. limit x mendekati tak hingga

Limit fungsi tersebut adalah 1/2.

Pembahasan

Untuk menentukan limit fungsi $\lim_{x \to \infty} ((x^2-x+5)^{1/2}-(x^2-2x+3)^{1/2})$, kita dapat mengalikan dengan konjugatnya:

$\lim_{x \to \infty} ((x^2-x+5)^{1/2}-(x^2-2x+3)^{1/2}) \times \frac{(x^2-x+5)^{1/2}+(x^2-2x+3)^{1/2}}{(x^2-x+5)^{1/2}+(x^2-2x+3)^{1/2}}$

$= \lim_{x \to \infty} \frac{(x^2-x+5) - (x^2-2x+3)}{(x^2-x+5)^{1/2}+(x^2-2x+3)^{1/2}}$

$= \lim_{x \to \infty} \frac{x^2-x+5-x^2+2x-3}{(x^2-x+5)^{1/2}+(x^2-2x+3)^{1/2}}$

$= \lim_{x \to \infty} \frac{x+2}{(x^2-x+5)^{1/2}+(x^2-2x+3)^{1/2}}$

Untuk $x \to \infty$, kita bisa membagi pembilang dan penyebut dengan $x$ (atau $x^2$ di bawah akar):

$= \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}+\frac{2}{x}}{(\frac{x^2}{x^2}-\frac{x}{x^2}+\frac{5}{x^2})^{1/2}+(\frac{x^2}{x^2}-\frac{2x}{x^2}+\frac{3}{x^2})^{1/2}}$

$= \lim_{x \to \infty} \frac{1+\frac{2}{x}}{(1-\frac{1}{x}+\frac{5}{x^2})^{1/2}+(1-\frac{2}{x}+\frac{3}{x^2})^{1/2}}$

Karena $\frac{2}{x}$, $\frac{1}{x}$, $\frac{5}{x^2}$, $\frac{2}{x}$, dan $\frac{3}{x^2}$ semuanya mendekati 0 saat $x \to \infty$, maka:

$= \frac{1+0}{(1-0+0)^{1/2}+(1-0+0)^{1/2}}$

$= \frac{1}{1^{1/2}+1^{1/2}}$

$= \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}$

Jadi, limit fungsi tersebut adalah $\frac{1}{2}$.