Agar fungsi h(x)=akar((x^2+5x+6)/(x-5)) terdefinisi, daerah

$[-3, -2] \cup (5, \infty)$

Pembahasan

Agar fungsi $h(x) = \sqrt{\frac{x^2 + 5x + 6}{x - 5}}$ terdefinisi, maka:
1. Ekspresi di dalam akar kuadrat harus non-negatif ($\ge 0$).
2. Penyebut tidak boleh nol ($x - 5 \ne 0$).

Mari kita analisis kedua syarat tersebut:

**Syarat 1: Ekspresi di dalam akar kuadrat harus non-negatif**
$\frac{x^2 + 5x + 6}{x - 5} \ge 0$

Pertama, faktorkan pembilang:
$x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)$

Jadi, pertidaksamaan menjadi:
$\frac{(x + 2)(x + 3)}{x - 5} \ge 0$

Kita cari akar-akar dari pembilang dan penyebut:
$x + 2 = 0 \implies x = -2$
$x + 3 = 0 \implies x = -3$
$x - 5 = 0 \implies x = 5$

Selanjutnya, kita uji interval yang dibentuk oleh akar-akar ini (-3, -2, dan 5) pada garis bilangan:

*   Interval $x < -3$: Pilih $x = -4$. $\frac{(-4 + 2)(-4 + 3)}{-4 - 5} = \frac{(-2)(-1)}{-9} = \frac{2}{-9} < 0$
*   Interval $-3 \le x < -2$: Pilih $x = -2.5$. $\frac{(-2.5 + 2)(-2.5 + 3)}{-2.5 - 5} = \frac{(-0.5)(0.5)}{-7.5} = \frac{-0.25}{-7.5} > 0$
*   Interval $-2 \le x < 5$: Pilih $x = 0$. $\frac{(0 + 2)(0 + 3)}{0 - 5} = \frac{(2)(3)}{-5} = \frac{6}{-5} < 0$
*   Interval $x > 5$: Pilih $x = 6$. $\frac{(6 + 2)(6 + 3)}{6 - 5} = \frac{(8)(9)}{1} = 72 > 0$

Agar $\frac{(x + 2)(x + 3)}{x - 5} \ge 0$, maka intervalnya adalah $[-3, -2] \cup (5, \infty)$. Perhatikan bahwa -3 dan -2 termasuk karena pertidaksamaan $\ge 0$, sedangkan 5 tidak termasuk karena penyebut tidak boleh nol.

**Syarat 2: Penyebut tidak boleh nol**
$x - 5 \ne 0 \implies x \ne 5$

Syarat kedua ini sudah tercakup dalam analisis interval dari syarat pertama, di mana nilai $x=5$ tidak termasuk dalam daerah yang memenuhi.

Jadi, agar fungsi $h(x)$ terdefinisi, daerah asal fungsi tersebut adalah $[-3, -2] \cup (5, \infty)$.