Tentukan luas bayangan lingkaran x^2 + y^2 + 6x - 8y + 16 =

Luas bayangan lingkaran adalah 18pi.

Pembahasan

Untuk menentukan luas bayangan lingkaran oleh transformasi, kita perlu memahami bagaimana transformasi memengaruhi luas. Dalam kasus ini, lingkaran diberikan oleh persamaan x^2 + y^2 + 6x - 8y + 16 = 0. Untuk mencari pusat dan jari-jari lingkaran, kita bisa melengkapkan kuadrat:
(x^2 + 6x) + (y^2 - 8y) = -16
(x^2 + 6x + 9) + (y^2 - 8y + 16) = -16 + 9 + 16
(x + 3)^2 + (y - 4)^2 = 9
Pusat lingkaran adalah (-3, 4) dan jari-jarinya adalah r = 3.

Transformasi yang diberikan oleh matriks [[4, -1], [-2, 1]] akan mengubah luas lingkaran. Faktor skala luas dari suatu transformasi linear yang direpresentasikan oleh matriks 2x2 adalah nilai absolut dari determinan matriks tersebut.

Determinan matriks [[4, -1], [-2, 1]] adalah:
det = (4 * 1) - (-1 * -2)
det = 4 - 2
det = 2

Luas lingkaran asli adalah A = pi * r^2 = pi * 3^2 = 9pi.

Luas bayangan lingkaran setelah transformasi adalah:
Luas Bayangan = Luas Asli * |det|
Luas Bayangan = 9pi * |2|
Luas Bayangan = 18pi.

Jadi, luas bayangan lingkaran tersebut adalah 18pi.